Ecuaciones diferneciales

Ecuaciones Diferenciales e Integraci¶n en Rn . o Sede Puerto Montt Universidad Austral de Chile. 2009-2

Tercera Evaluaci¶n Parcial (Ingenier¶ en Computaci¶n) o ³a o Respuestas esperadas

1) Considere la super¯cie S que forma parte del cilindro circular recto x2 + z 2 = 4, est¶ a ubicada en el primer octante y limitada por el plano de ecuaci¶n y = 2z. o (a) Represente gr¶¯camente a S en unSCCR en R3 . a (b) Calcule el ¶rea A(S) de S. a Respuesta: (a) Sea S la super¯cie suave y simple, contenida en el cilindro de ecuaci¶n x2 + z 2 = 4, o ubicada en el Primer Octante y limitada por el plano de ecuaci¶n y = 2z, tal como o se representa en la ¯gura que se propone a continuaci¶n: o

(b) Consideremos la parametrizaci¶n ' : U ½ R2 ¡! R3 , donde U es un abierto de o o R2 que contiene a laregi¶n ¢, de¯nida por: n o ¼ ¢ = (µ; y) 2 R2 = 0 · µ · ; 0 · y · 4 sen µ 2 y tal que '(µ; y) = (2 cos µ; y; 2 sen µ), para todo (µ; y) 2 ¢. Entonces, como 'µ (µ; y) = (¡2 sen µ; 0; 2 cos µ) y 'y (µ; y) = (0; 1; 0), se tiene que ('µ £ 'y )(µ; y) = (2 cos µ; 0 ; ¡2 sen µ) (1)

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2

Note que: A(S) :=

ZZ
¢

j('µ £ 'y )(µ; y)j dµdy:

(2)

Por otra parte, j('µ £ 'y)(µ; y)j = 2, por lo que, utilizando (2), se tiene: A(S) = ZZ
¢
¼ 2

2 dµdy = 2

Z2
0

¼

dµ

4Z µ sen 0

dy = 2

Z2
0

¼

4 sen µ dµ =

As¶ concluimos que: A(S) = 8 unidades cuadradas de super¯cie. ³, 2) Sea K la curva cerrada, suave a pedazos y simple, obtenida por la intersecci¶n de la o p 2 2 2 + y 2 . Consideremos o super¯cie 5z = 6¡x ¡y y la rama del cono de ecuaci¶n z =x que K est¶ orientada de tal forma que un observador situado en el punto P0 (0; 0; 2), a re¯ere que la curva se recorre en sentido positivo. (a) Represente a K en un SCCR en R3 e indique, sobre el gr¶¯co, el sentido de a recorrido de K: (b) Utilizando el Teorema de Stokes, calcule Justi¯que su respuesta. Respuesta: (a) En la gr¶¯ca que se presenta a continuaci¶n aparecen las trazas de lassuper¯cies a o 5z = 6 ¡ x2 ¡ y 2 (paraboloide con eje de simetr¶ en el eje OZ, que "abre hacia ³a p abajo"), en color verde y z = x2 + y 2 (rama "superior" de un cono circular recto con eje de simetr¶ en el eje OZ), en color azul. Se destaca la curva K, orientada, ³a en color rojo. I
K

¯¼ ¯2 Z ¯ ¯ = 8 sen µ dµ = 8(¡cos µ)¯ = 8 ¯ ¯ 0
0

(2y + z) dx + (x ¡ z) dy + (2y ¡ x) dz:

3

(b) Paracalcular la integral de l¶ ³nea propuesta utilizando el Teorema de Stokes, debemos comenzar por de¯nir una super¯cie suave y simple, que tenga por borde a la curva K. Para ello, notamos que la intersecci¶n del paraboloide y el cono, es una curva o que pertenece al plano z = 1. Esto se deduce al simultanear las ecuaciones de estas super¯cies. Por ejemplo, la ecuaci¶n del paraboloide puede escribirse enla forma: o p 2 2 x +y = 6¡5z y sustituyendo en la ecuaci¶n del cono, observamos que: z = 6 ¡ 5z, o lo que conduce a la ecuaci¶n cuadr¶tica: z 2 + 5z ¡ 6 = 0, cuyos ceros son: z1 = ¡6 o a y z2 = 1. Como, obviamente, z ¸ 0, entonces se concluye que z = 1. curva K, es decir, seleccionando S := f(x; y; z) 2 R3 = x2 + y 2 · 1; z = 1g; (3) De este modo, tomando como S la super¯cie del plano z = 1,limitada por la

orientada seg¶n la familia de normales cuya componente en "z" es positiva (con el u objetivo de que la orientaci¶n de dicha super¯cie est¶ asociada a la orientaci¶n de o e o V un abierto que contiene a E := proyXY S = f(x; y) 2 R= x2 + y 2 · 1g y para la ¿y (x; y) = (0; 1; 0), obteni¶ndose que: (¿x £ ¿y )(x; y) = (0; 0; 1). As¶ seleccionando e ³, con orientaci¶n asociada al borde.Adem¶s, observamos que como cada funci¶n o a o componente de ¿ es un polinomio, entonces ¿ 2 C 2 (V ). Para aplicar el Teorema de Stokes pasemos a calcular la expresi¶n de: rot F . o ¯ ! ¯ i ¯ ¯ ¯ rot F := r £ F : = ¯ @ (f ) ¯ @x ¯ ¯ ¯ 2y + z Entonces I
K !

su borde: la curva K), consideraremos la parametrizaci¶n ¿ : V ½ R2 ¡! R3 , con o

cual se tiene que: ¿ (x; y) = (x; y; 1). De aqu¶...