Ecuaciones Difrenciales

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
Yoel E. Guti´rrez T. e

1.

Introducci´n o

En la ciencias y la ingenier´ se desarrollan modelos matem´ticos para comprender meıa a jor los fen´menos f´ o ısicos. con frecuencia, estos modelos producen una ecuaci´n que contiene o algunas derivadas de un funci´n inc´gnita. Esta ecuaci´n es una ecuaci´n diferencial. o o o o Definici´n 1.1 Seentiende por ecuaci´n diferencial cualquier ecuaci´n en la que ino o o terviene una variable dependiente y sus derivadas con respecto a una o m´s variables ina dependientes. Como ejemplos de ecuaciones diferenciales cabe citar: dy = −4y, dt 2 d2 y = −4y, dt2 (1.1) (1.2)

dy 2 + 2xy = e−x , (1.3) dx ∂ 2u ∂ 2u ∂u = 2 −2 . (1.4) 2 ∂x ∂t ∂t Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo consu tipo, orden y linealidad. Definici´n 1.2 Si una ecuaci´n s´lo contiene derivadas ordinarias de una o m´s variables o o o a dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuaci´n diferencial ordinaria (EDO). o Definici´n 1.3 Una ecuaci´n que contiene las derivadas parciales de una o m´s variables o o a dependientes, respecto de dos o m´s variablesindependientes, se llama una ecuaci´n a o diferencial en derivadas parciales. o Definici´n 1.4 El orden de una ecuaci´n diferencial es el orden de las derivadas de orden o m´ximo que aparecen en la ecuaci´n. a o

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Una ecuaci´n diferencial ordinaria de orden n puede expresarse como o dy d2 y dn y f (x, y, , 2 ,..... n ) = 0, dx dx dx o sea, usando la notaci´n con primas para las derivadas o f (x, y, y , y , ........., y (n) ) = 0. (1.5)

Si podemos resolver la ecuaci´n (1.5) por la derivada m´s alta, obtenemos una o m´s o a a ecuaciones de orden n tomando la siguiente forma y (n) = f (x, y, y , y , ........., y (n−1) ). (1.6)

o Definici´n 1.5 Una ecuaci´n diferencial ordinaria es lineal si se puedeescribir de la o forma dn y dn−1 y dy an (x) n + an−1 (x) n−1 + . . . + a1 (x) + a0 (x)y = f (x), (1.7) dx dx dx donde cada coeficiente an , an−1 , . . . , a1 , a0 y f s´lo depende de x, que es la variable indeo pendiente. Cuando una ecuaci´n diferencial ordinaria no es lineal, se dice que es no lineal. o

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Generalidades sobre las soluciones

o u Definici´n 2.1 Cuando una funci´n y = y(x),definida en alg´n intervalo I, se sustituye o en una ecuaci´n diferencial ordinaria, como la ecuaci´n (1.5), y transforma esa ecuaci´n o o o en una identidad, se dice que es una soluci´n de la ecuaci´n en el intervalo. o o El intervalo I puede ser un intervalo abierto, (a, b), cerrado, [a, b], infinito, (a, ∞), . . .. Para nuestros fines, supondremos que una soluci´n y = y(x) es una funci´n de valores o oreales. Cuando la soluci´n de una ecuaci´n diferencial se da sin restricciones sobre los valores o o que asume la variable independiente, asumimos que el intervalo I en el cual la funci´n o y = y(x) es soluci´n, contiene todos los valores para los cuales las operaciones indicadas o producen resultados con sentido. Definici´n 2.2 Una soluci´n en que la variable dependiente se expresa tan s´lo ent´rmio o o e nos de la variable independiente y constantes, se llama soluci´n expl´ o ıcita. o ı o e Definici´n 2.3 Una soluci´n expl´cita de una ecuaci´n diferencial que es id´ntica a cero o en el intervalo I, se llama soluci´n trivial. o Definici´n 2.4 Una relaci´n G(x, y) = 0 es una soluci´n impl´ o o o ıcita de una ecuaci´n o diferencial ordinaria, en un intervalo I, siempre y cuando exista almenos una funci´n o y = y(x) que satisfaga la relaci´n, y la ecuaci´n diferencial, en I. En otras palabras, o o G(x, y) = 0 define impl´citamente a la funci´n y = y(x). ı o

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El estudio de las ecuaciones diferenciales es semejante al del c´lculo integral. a veces, a a una soluci´n de la llama integral de la...