ECUACIONES DIOFANTICAS

Ecuaciones Diofánticas
Problema
Una bufanda cuesta 19 rublos, pero el comprador no tiene más que billetes de tres rublos; y la cajera, sólo de cinco. ¿Puede en estas condiciones abonarse elimporte de la compra, y cómo hacerlo?
La misión de este problema se reduce a saber cuántos billetes de tres rublos deben entregarse a la cajera para que ella dé las vueltas con billetes de cinco, cobrandolos 19 rublos. Las incógnitas del problema son dos: el número de billetes de tres rublos (x) y el número de billetes de cinco (y). Sólo puede plantearse una ecuación:
Aunque una ecuación con dosincógnitas tiene infinidad de soluciones, esto no quiere decir que entre ellas haya alguna en las que x e y sean números enteros y positivos (recordemos que se trata del número de billetes de banco). Heaquí por qué el álgebra ha elaborado el método de solución de estas ecuaciones "indeterminadas". El mérito de haberlas introducido en el álgebra pertenece al primer sabio europeo que cultivó estaciencia, a Diofanto, célebre matemático de la antigüedad, por lo que estas ecuaciones se llaman con frecuencia "ecuaciones de Diofanto".
Solución
En el ejemplo citado mostremos cómo deben resolversetales ecuaciones. Hay que hallar el valor de x y de y en la ecuación
3x - 5y = 19
sin olvidar que tanto x cómo y son números enteros y positivos. Despejando la incógnita cuyo coeficiente es menor,es decir, 3x tendremos:
3x = 19 + 5y
x = (19 + 5y) / 3 = 6 + y + (1 + 2y) / 3
Como x, 6 e y son números enteros, la ecuación puede ser acertada sólo en el caso de que (1 + 2y) / 3 sea también unnúmero entero. Expresémosle con la letra t. Entonces
x = 6 + y + t,
donde
t = (1 + 2y) / 3
y, por tanto,
3t= 1 + 2y , 2y = 3t - 1
De la última ecuación despejaremos la y
y = (3t - 1) / 2= + (t - 1) / 2
Comoquiera que y y t son números enteros, (t - 1) / 2 debe ser un número entero t 1 . Por consiguiente,
y = t + t 1
y, además,
t 1 = (t - 1) / 2
de donde
2t 1 = t - 1
t...