Ecuaciones Diofanticas
Páginas: 37 (9241 palabras)
Publicado: 5 de julio de 2012
Rafael Parra Machío
ECUACIONES DIOFÁNTICAS
11. ECUACIONES DIOFANTICAS 11.1 Ecuaciones diofánticas de grado dos 1.1 Números de la forma 4 k + 1 y 4 k + 3.
Aunque de los números pueden hacerse todas las clasificaciones que se nos ocurran, todos se encuentran bajo dos patrones bien diferenciados: los de la forma 4k + 1, llamados de Fermat en honor a Pierre de Fermat (1601-1665) y los de laforma 4k + 3, llamados de Mersenne en honor a Marín Mersenne (1588-1648). El que se les llame de Fermat o de Mersenne no significa que tengan que ser de uno o del otro, como ya quedó demostrado en el capítulo II, la clasificación es más por la forma que toman. Cuando un número de la forma 4 k + 1 es primo, tiene la particularidad de que es suma de dos cuadrados, esto es, 4k + 1 = x2 + y 2 . Porejemplo, 4 ⋅ 7 + 1 = 52 + 22 = 29. No ocurre así si el número no es primo. Por ejemplo, 4 ⋅ 8 + 1 = 52 + 23 = 33 es suma de un cuadrado y un cubo, pero no de dos cuadrados, ya que 4 ⋅ 8 + 1 = 33 = 32 + 12 = 29 + 22 = 24 + 32 = 14 + 42 = 23 + 52. Un número de la forma 4k + 3, tanto si es primo como compuesto, nunca será suma de dos cuadrados. Por ejemplo, 4 ⋅ 11 + 3 = 47 = 46 + 12 = 43 + 22 = 38 + 32= 31 + 42 = 22 + 32 + 32 + 52. Las dos formas anteriores de representar a los números nos llevan a lo que se ha venido en llamar la ecuación de Fermat generalizada que representamos como x2 ± 2 y 2 = N donde N es primo. De hecho esta ecuación se conoce como conjetura de Albert Girard que dice que todo número primo mayor que dos, de las formas 4 k + 1 ó 4k + 3, se puede obtener como resultado dela suma ó diferencia, según sea el valor de k , de un cuadrado y un doble cuadrado. Albert Girard (1595-1632) fue un matemático francés que demostró la existencia de las raíces imaginarias y calculó el área de las figuras poligonales trazadas sobre una superficie plana. También hizo aportaciones en la teoría de los números. Además, fue el introductor de los signos numéricos sin, cos, tan, enrepresentación del seno, coseno y tangente.
1.2 Ecuaciones de la forma x2 ± 2 y 2 = N .
En la solución de la ecuación de la forma x2 ± 2 y 2 = N influye la paridad de k y el valor de
2 2k 2 N . Si k es par, como x + 2(−1) y = N , la ecuación es suma de un cuadrado y el doble de
otro que denotamos como x2 + 2 y 2 = N . Si k es impar, como x2 + 2(−1)2 k +1 y 2 = N , la ecuación es diferencia de uncuadrado y el doble de otro que denotamos como x2 − 2 y 2 = N . En cuanto al valor de N , si es primo la ecuación tendrá siempre solución, salvo en el caso de los de la forma 4k + 1, si es compuesto puede que no tenga solución o que la solución sea con un valor de y distinto a 2. Hemos llevado a cabo un estudio sobre los 200 primeros números, 100 de la forma 4 k + 1 y 100 de la forma 4k + 3,donde se incluyen números primos y compuestos, y los resultados quedan reflejados en los cuadros que detallamos a continuación. La muestra recoge los siguientes números en donde los primos están sombreados:
Números de la forma 5 65 125 185 245 305 365 9 69 129 189 249 309 369
4k + 1
17 77 137 197 257 317 377 21 81 141 201 261 321 381 25 85 145 205 265 325 385 29 89 149 209 269 329 389 33 93 153213 273 333 393 37 97 157 217 277 337 397 41 45 101 105 161 165 221 225 281 285 341 345 401 Números primos 49 109 169 229 289 349 53 113 173 233 293 353 57 117 177 237 297 357 61 121 181 241 301 361
13 73 133 193 253 313 373
1
Rafael Parra Machío
4k + 3
15 75 135 195 255 315 375 19 79 139 199 259 319 379 23 83 143 203 263 323 383 27 87 147 207 267 327 387 31 91 151 211 271 331 391 35 95155 215 275 335 395 39 43 99 103 159 163 219 223 279 283 339 343 399 Números primos 47 107 167 227 287 347
ECUACIONES DIOFÁNTICAS
Números de la forma 3 63 123 183 243 303 363 7 67 127 187 247 307 367
11 71 131 191 251 311 371
51 111 171 231 291 351
55 115 174 235 295 355
59 119 179 239 299 359
El resumen de los resultados ha sido el siguiente:
Ecuación
Primos que admiten...
ECUACIONES DIOFÁNTICAS
11. ECUACIONES DIOFANTICAS 11.1 Ecuaciones diofánticas de grado dos 1.1 Números de la forma 4 k + 1 y 4 k + 3.
Aunque de los números pueden hacerse todas las clasificaciones que se nos ocurran, todos se encuentran bajo dos patrones bien diferenciados: los de la forma 4k + 1, llamados de Fermat en honor a Pierre de Fermat (1601-1665) y los de laforma 4k + 3, llamados de Mersenne en honor a Marín Mersenne (1588-1648). El que se les llame de Fermat o de Mersenne no significa que tengan que ser de uno o del otro, como ya quedó demostrado en el capítulo II, la clasificación es más por la forma que toman. Cuando un número de la forma 4 k + 1 es primo, tiene la particularidad de que es suma de dos cuadrados, esto es, 4k + 1 = x2 + y 2 . Porejemplo, 4 ⋅ 7 + 1 = 52 + 22 = 29. No ocurre así si el número no es primo. Por ejemplo, 4 ⋅ 8 + 1 = 52 + 23 = 33 es suma de un cuadrado y un cubo, pero no de dos cuadrados, ya que 4 ⋅ 8 + 1 = 33 = 32 + 12 = 29 + 22 = 24 + 32 = 14 + 42 = 23 + 52. Un número de la forma 4k + 3, tanto si es primo como compuesto, nunca será suma de dos cuadrados. Por ejemplo, 4 ⋅ 11 + 3 = 47 = 46 + 12 = 43 + 22 = 38 + 32= 31 + 42 = 22 + 32 + 32 + 52. Las dos formas anteriores de representar a los números nos llevan a lo que se ha venido en llamar la ecuación de Fermat generalizada que representamos como x2 ± 2 y 2 = N donde N es primo. De hecho esta ecuación se conoce como conjetura de Albert Girard que dice que todo número primo mayor que dos, de las formas 4 k + 1 ó 4k + 3, se puede obtener como resultado dela suma ó diferencia, según sea el valor de k , de un cuadrado y un doble cuadrado. Albert Girard (1595-1632) fue un matemático francés que demostró la existencia de las raíces imaginarias y calculó el área de las figuras poligonales trazadas sobre una superficie plana. También hizo aportaciones en la teoría de los números. Además, fue el introductor de los signos numéricos sin, cos, tan, enrepresentación del seno, coseno y tangente.
1.2 Ecuaciones de la forma x2 ± 2 y 2 = N .
En la solución de la ecuación de la forma x2 ± 2 y 2 = N influye la paridad de k y el valor de
2 2k 2 N . Si k es par, como x + 2(−1) y = N , la ecuación es suma de un cuadrado y el doble de
otro que denotamos como x2 + 2 y 2 = N . Si k es impar, como x2 + 2(−1)2 k +1 y 2 = N , la ecuación es diferencia de uncuadrado y el doble de otro que denotamos como x2 − 2 y 2 = N . En cuanto al valor de N , si es primo la ecuación tendrá siempre solución, salvo en el caso de los de la forma 4k + 1, si es compuesto puede que no tenga solución o que la solución sea con un valor de y distinto a 2. Hemos llevado a cabo un estudio sobre los 200 primeros números, 100 de la forma 4 k + 1 y 100 de la forma 4k + 3,donde se incluyen números primos y compuestos, y los resultados quedan reflejados en los cuadros que detallamos a continuación. La muestra recoge los siguientes números en donde los primos están sombreados:
Números de la forma 5 65 125 185 245 305 365 9 69 129 189 249 309 369
4k + 1
17 77 137 197 257 317 377 21 81 141 201 261 321 381 25 85 145 205 265 325 385 29 89 149 209 269 329 389 33 93 153213 273 333 393 37 97 157 217 277 337 397 41 45 101 105 161 165 221 225 281 285 341 345 401 Números primos 49 109 169 229 289 349 53 113 173 233 293 353 57 117 177 237 297 357 61 121 181 241 301 361
13 73 133 193 253 313 373
1
Rafael Parra Machío
4k + 3
15 75 135 195 255 315 375 19 79 139 199 259 319 379 23 83 143 203 263 323 383 27 87 147 207 267 327 387 31 91 151 211 271 331 391 35 95155 215 275 335 395 39 43 99 103 159 163 219 223 279 283 339 343 399 Números primos 47 107 167 227 287 347
ECUACIONES DIOFÁNTICAS
Números de la forma 3 63 123 183 243 303 363 7 67 127 187 247 307 367
11 71 131 191 251 311 371
51 111 171 231 291 351
55 115 174 235 295 355
59 119 179 239 299 359
El resumen de los resultados ha sido el siguiente:
Ecuación
Primos que admiten...
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