Ecuaciones Direrenciales De Primer Orden

´ ´ AMPLIACION DE MATEMATICAS

2

Ampliaci´n de Matem´ticas o a

´ Indice general
1. Introducci´n. o 1.1. Definiciones y terminolog´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa. 1.1.1. Soluci´n general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.1.2. Sistemas de ecuaciones diferenciales. . . . . . . . . . . 1.1.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Problemasde valor inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Problemas de valor inicial de primero y segundo orden. 1.2.2. Existencia y unicidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Las E.D. como modelos matem´ticos. . . . . . . . . . . . . . a 1.3.1. Crecimiento y decaimiento. . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Diseminaci´n de una enfermedad. . . . . . . . . . . . . o 1.3.3. Ley deNewton del enfriamiento. . . . . . . . . . . . . 1.3.4. Mezclado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5. Vaciado de un tanque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.6. Ca´ libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıda 1.4. Practica con Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Definici´n de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.4.2.Derivadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4. Resoluci´n de ecuaciones diferenciales. . . . . . . . . . o 1.4.5. Ecuaciones con condiciones iniciales. . . . . . . . . . . 1.4.6. Gr´ficos bidimensionales. El comando Plot. . . . . . . a 1.4.7. Representaci´n gr´fica de la soluci´n de una ecuaci´n o a o o diferencial. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 11 12 12 13 13 15 15 19 20 20 20 21 23 23 23 24 24 25 26 26 27

2. E.D.O. Primer Orden 29 o 2.1. Integraci´n directa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2. Variables separables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.1. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3

4

Ampliaci´n deMatem´ticas o a 2.3. Ecuaciones exactas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.1. M´todo de soluci´n para ecuaciones diferenciales exace o tas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.2. Ecuaciones reducibles a exactas. Factores integrantes. 36 2.3.3. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4. Ecuaciones lineales. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 39 2.4.1. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5. Soluciones por sustituci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 o 2.5.1. Ecuaciones homog´neas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 e 2.5.2. La ecuaci´n de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . 47 o 2.5.3. Reducci´n a separaci´n de variables. . . . . . . . . . . 48 o o 2.5.4.Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.6. Modelado con ecuaciones diferenciales de primer orden. . . . 49 2.6.1. Crecimiento bacteriano. . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.6.2. Periodo medio del plutonio. . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.6.3. Antig¨edad de un f´sil. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 u o 2.6.4. Ley de Newton del enfriamiento. . . . . . . . . . . . .53 2.6.5. Mezclas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.6.6. Modelos demogr´ficos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 a 2.6.7. Modelo depredador-presa. . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.7. Practica con Mathematica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.7.1. Integrando con Mathematica. . . . . . . . . . . . . . . 59 2.7.2. Representaci´n gr´fica de funciones dadas enforma o a impl´ ıcita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.7.3. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3. M´todos num´ricos. e e 3.1. Campos direccionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Representaci´n gr´fica de un Campo de Direcciones. . o a 3.1.2. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Resoluci´n...