Ecuaciones ejemplo

Ejemplo 1 de Examen

1.

Evaluaci´n particular o
a) Enuncia el Teorema de Existencia y Unicidad.

Problema 1.

b) Ejercicio relacionado 1 (para evaluar comprensi´n del teorema) Determio nauna regi´n del plano xy para la cual la ecuaci´n diferencial siguiente o o tendr´ una soluci´n unica cuya gr´fica pasa por un punto (x0 ,y0 ) en esa ıa o ´ a regi´n o dy √ = xy. dx c) Ejerciciorelacionado 2 (para evaluar comprensi´n del teorema) Determina o una regi´n del plano xy para la cual la siguiente ecuaci´n tendr´ soluci´n o o ıa o unica, cuya gr´fica pasa por un punto (x0 ,y0 ) ´ a (y − x)y= y + x. Problema 2. Obtener la f´rmula de la soluci´n de o o a1 (x)y (x) + a2 (x)y = g(x). Problema 3. Resolver las siguientes ecuaciones (1 problema por cada m´todo). e a) Usando el mismo m´tododel problema anterior encontrar la soluci´n de e o xy + y = ex , y(−1) = 4

¿en qu´ intervalo I est´ definida la soluci´n? e a o b) Resolver la siguiente ecuaci´n diferencial determinando un factorinteo grante adecuado que transforme la ecuaci´n en una ecuaci´n diferencial o o exacta (indicar proceso de obtenci´n del factor integrante) o (2y 2 + 3x)dx + 2xydy = 0 c) Verificar que la siguienteecuaci´n es homog´nea y resolverla haciendo la o e sustituci´n adecuada o xy 2 dy = y 3 − x3 , dx 1 y(1) = 2

d) Resolver la siguiente ecuaci´n de Bernoulli o dy = y(xy 3 − 1) dx

2.
2.1.Problemas (evaluaci´n integral) o
Parte sal´n de clase o

Problema 4. (Sin modelaci´n. Notar que la ecuaci´n a resolver ya est´ dada) o o a El mezclado de dos soluciones de diferente concentraci´n da lugara una ecuaci´n o o diferencial de primer orden para la cantidad de sal contenida en la mezcla. A(t) es la cantidad de sal en la mezcla. Un tanque de mezclado contiene inicialmente 600 litros desalmuera (mezcla de sal y agua). Otra soluci´n de salmuera se bombea hacia el tanque a una tasa de o 6 lt/min, este flujo de entrada tienen una concentraci´n de 0.75 kg/lt. Dentro o del tanque la soluci´n...