Ecuaciones Empiricas

ECUACIONES EMPÍRICAS

1. OBJETIVO:

1.1. Determinar una ecuación empírica para el péndulo simple que relacione el periodo (t) y la masa (m).

1.2. Determinar una ecuación empírica para el péndulo simple que relacione el periodo (t) y la longitud.

2. FUNDAMENTO TEORICO:

1. METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS
Uno de los tipos más comunes e interesantes de experimentoinvolucra la medición de varios valores de dos diferentes variables físicas a fines de investigar la relación matemática entre las dos variables. Ud. mismo ha realizado experimentos de esta clase en este curso. Sin embargo, en dichos experimentos el ajuste de los datos a una función propuesta, tal como una línea recta, fue realizada en forma cualitativa, es decir, a ojo. Existen formas cuantitativas deencontrar el valor de los parámetros que mejor representan a un conjunto de datos, y es precisamente este tema el que trataremos en esta Sección. Le recomendamos nuevamente que, además del breve desarrollo incluido en este apunte, consulte la bibliografía recomendada por la Cátedra.
Probablemente, los experimentos más comunes del tipo descrito más arriba son aquellos para los cuales la relaciónesperada entre las variables es lineal. Por ejemplo, si creemos que un cuerpo está cayendo con aceleración constante g, entonces su velocidad v debería ser una función lineal del tiempo t,
v = v0 + gt.
En forma más general, consideraremos un par cualquiera de variables físicas x e y de las cuales sospechemos que están relacionadas por una relación lineal de la forma
 y = A + Bx
 
donde A y B son constantes. Si las dos variables y y x están relacionadas de esta manera, entonces un gráfico de y versus x debiera resultar en una línea recta de pendiente B, que intersecta al eje y en y = A. Si medimos N diferentes valores de x y los correspondientes valores de y, y si nuestras mediciones no están sujetas a incerteza alguna, entoncescada uno de los puntos (xi, yi) caería exactamente sobre la línea y = A + Bx. En la práctica, existen incertezas, y lo mejor que podemos esperar es que la distancia entre cada punto y la recta sea razonable comparada con las incertezas, tal como en el caso de la siguiente figura:
 
[pic]
Las inevitables incertezas experimentales se muestran a través de las barras de error, ysólo podemos esperar que los puntos estén razonablemente cerca de la recta. En este caso, sólo la variable y está sujeta a incertezas apreciables.
 
Cuando realizamos una serie de mediciones de este tipo, podemos hacernos dos preguntas. En primer lugar, si tomamos por garantido que y y x están relacionadas linealmente, entonces el problema es encontrar la recta y = A + Bx que mejor se ajusta a lasmediciones, es decir, las mejores estimaciones para los valores de A y B. Este problema puede tratarse gráfica o analíticamente. El método analítico de encontrar la mejor recta que se ajusta a una serie de datos experimentales es llamado regresión lineal, o ajuste de mínimos cuadrados para una recta.
La segunda pregunta que surge es si los valores medidos realmente llenan nuestras expectativasacerca de la linealidad entre y y x. Para contestar a esta pregunta, deberíamos primero encontrar la recta que mejor se ajusta a los datos, y además encontrar alguna forma de medir qué tan bien esta línea se ajusta a los datos. Si conocemos las incertezas asociadas a los datos, como en el caso de la figura 5, podemos evaluar el ajuste visualmente. Si no tenemos una estimación confiable de lasincertezas, entonces tenemos que analizar la bondad del ajuste examinando la distribución de los puntos mismos. Este problema, relacionado con los conceptos de covarianza y correlación, no será tratado en esta Sección.
Vayamos a la cuestión de encontrar la recta y = A + Bx que mejor se ajusta a un conjunto de puntos (x1, y1),..., (xN, yN). Para simplificar nuestra discusión, supondremos que sólo las...