Ecuaciones en Diferencia

Modelo de la Telaraña
Este modelo debe su nombre a que la senda seguida por el precio y la cantidad adopta la forma de una telaraña. Es considerado como un modelo dinámico simple donde las cantidades del producto que se van a ofrecer en el mercado, están en función del precio del mismo en el periodo inmediatamente anterior.
Supuestos básicos del Modelo de la telaraña
Supuesto 1 :Se debe estaren un mercado de competencia perfecta, es decir, un mercado donde existan muchos productores y demandantes, los productos ofrecidos son homogéneos, información perfecta, maximización de beneficios, libre movilidad de factores y costos de transacción nulos.
Supuesto 2 :Las cantidades demandadas están en función del precio (supuesto implícito del modelo), es decir;

Q demandadas = F ( Pt)Supuesto 3 : Las cantidades ofrecidas están en función del precio del periodo inmediatamente anterior (supuesto implícito), es decir;
Q Ofrecidas = F ( P t-1)
Supuesto 4: Economía cerrada, por lo tanto, no se podrá importar ni exportar productos. (Supuesto Explicito)
Supuesto 5: Existe poca capacidad de almacenamiento. (Supuesto explicito).
Demostración Matemática del Modelo de la Telaraña
Qdemandadas: a - b.Pt
Q ofrecidas: -y + w.Pt-1
Donde b.Pt representa la pendiente de la función de demanda y w.Pt-1 la pendiente de la función de oferta. Ahora se procede a igualar la función de oferte con la de demanda y se obtiene lo siguiente;
a - b.Pt = -y + w.Pt-1 ………………….. (1)

Sumándoles un periodo a ambas pendientes y agrupando términossemejantes obtenemos;
a + y = b.Pt+1 + w.Pt …………………… (2)
Luego de aplicar operaciones matemáticas básicas obtenemos la siguiente ecuación;
Pt+1 = a + y - w.Pt ………………………… (3)
b b
C = (a + y)/b
A= - (w/b)

Sustituyendo las expresiones anteriores por las nuevas variables obtenemosla Ecuación 3 en forma reducida;
Pt+1 = A . Pt + C ………………………… (4)
Por lo tanto para obtener los precios para periodos futuros podemos hacerlo de la siguiente forma;
P1 = A . Po + C ………………………………… (5)
P2 = A . P1 + C
P2= A .(A . Po + C) + C
P2 = A2.Po + A.C + C ………………………………….. (6)
P3= A . P2 + C
P3=A .( A^2.Po + A.C + C) + C
P3= A^3.Po + A^2.C + A . C + C
P3= A^3.Po + C. (A^2 + A + 1) …………………………….... (7)
De una manera genérica e infinita podemos visualizar la Formula general del modelo de la telaraña;
Pt = A^t . Po + C . ( A^t - 1) / ( A - 1) ..................(8)
Restituyendo las expresiones iniciales (las vistas hasta la ecuación3), se puede observar lo siguiente;

Operacionalizando la ecuación anterior obtenemos lo siguiente;

Donde;
Pe = (a + y) / (w + b) Pe representa el precio de equilibrio en un mercado
Cambiando Pe por la expresión correspondiente en la ecuación 10, se obtiene la fórmula reducida del modelo de la telaraña;

Tipos de Modelos
 Modelo de la telaraña Amortiguado o Convergente: en este caso elnivel de precios y las cantidades tienden al equilibrio, partiendo de una situación en la cual la demanda del producto en su periodo inicial es mucho mayor a la cantidad ofrecida, que luego por presiones de demanda y de oferta, tiende en el mediano o largo plazo al equilibrio, ver las siguientes graficas;

En esta grafico se puede observar mas fácilmente como el precio del producto tiende ellargo plazo a estabilizarse e igualarse con el precio de equilibrio.
 Modelo de telaraña Explosivo o Divergente: Es llamado de esa manera porque existen fuertes y grandes fluctuaciones en el nivel de precios, lo que va generando la no existencia de un punto de equilibrio, es decir, no va a ver coincidencia entre los productores y los demandantes, gráficamente se puede visualizar lo anterior;...