ecuaciones en diferencias finitas

Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisisnumérico para la resolución de ecuaciones diferenciales.
Métodos de diferencias finitas.
Otro aspecto importante es que las diferencias finitas aproximan cocientes diferenciales a medida que h se acerca a cero. Así que se pueden usar diferencias finitas para aproximar derivadas. Esta técnica se emplea a menudo en análisis numérico, especialmente en ecuaciones diferenciales numéricas ordinarias,ecuaciones en diferencias y ecuación en derivadas parciales. Los métodos resultantes reciben el nombre de métodos de diferencias finitas.
Las aplicaciones habituales de los métodos de diferencias finitas son en los campos de la computación y áreas de la ingeniería como ingeniería térmica o mecánica de fluidos.
Ecuación en diferencia.

Llamamos Ecuación en Diferencias a toda ecuación querelaciona al término n x de la sucesión, la sucesión incógnita x x(n) n = y términos siguientes de la sucesión, representada por la forma:

“Una ecuación en diferencias es una ecuación que relaciona a una función Y(x) con una o más de sus diferencias finitas, para cada valor de x que pertenece a su dominio de definición D.”

Dada una sucesión { xn} cuyosprimeros términos son , x0 x1 x2 , presentamos como ecuación en Diferencias a toda ecuación que relaciona términos de esa sucesión.
Las siguientes son ecuaciones en diferencias:

Ecuaciones en Diferencias de primer orden.
Sean funciones conocidas tal que A (n) i nunca se anulan en
el dominio de la variable n. Entonces se llama ecuación endiferencias de primer orden lineal
De a la expresión:

Si en particular B(n) es idénticamente cero, entonces se dice que la ecuación es homogénea. Si tanto ( ) A1 n como ( ) A2 n son constantes, se llama ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes.

Al suponerse que , podemos dividir por él ambos miembros de la ecuación, quedando:


La ecuaciónse convierte en:
Siendo ésta la forma general reducida de las ecuaciones en diferencias de primer orden lineales.

Una sucesión solución de una ecuación en diferencias se dice general si contiene la constante arbitraria C. Para cada valor de la constante arbitraria la sucesión queda determinada de forma única, en tal caso la sucesión solución se dice que es solución particular de la ecuaciónen diferencias.

Ecuación en diferencias. Definición y clasificación
Consideremos que Yx es una función definida en R. Entonces, los siguientes son ejemplos de ecuaciones en diferencias finitas, relativas a un dominio D de números reales, o sea, xD.
a.
b.
c.
d.
Siendo Yx una función de variable real, está definida para la sucesión de valores x0, x0+h, x0+2h,……..donde x0 es el valorinicial de x y h =.
Consideraremos que x0 es un valor entero no negativo y que h=1, por lo tanto, el dominio de definición D, es una sucesión de números naturales n, n+1, n+2,….
Con esto no se pierde generalidad; ya se demostró que si x y h no son enteros, mediante un cambio de variables, la ecuación x0, x0+h, x0+2h,……, x se transforma en una sucesión de números naturales. En ese caso se realizael cambio de variable en la ecuación y se obtiene una ecuación en diferencias relativas a un conjunto de números naturales.
Por lo tanto consideraremos en lo adelante, que D y además que el valor inicial de x es x0=0, a menos que se indique otro valor para x0.
Clasificación: El orden de una ecuación en diferencia es el de la diferencia de mayor orden que presente la misma.
En los ejemplos...