Ecuaciones En Diferencias

Ecuaciones de Diferencias
Andr´s Rogelio C´rdoba Ram´ — Codigo N.o 20062005016 * e o ırez Adrian Rodrigo Barrero Romero — Codigo N.o 20041005016 ** Danny Camilo Herre˜o — Codigo N.o 20042005039 *** n 7 de septiembre de 2011

Resumen Para estudiar las ecuaciones de diferencias es recomendable empezar por identificar los coeficientes de dichas ecuaciones, utilizando la funcion filter se puederealizar la soluci´n de las ecuaciones de diferencias o usando los coeficientes identificados anteriormente, probando la respuesta al impulso de estos sistemas se observa que tiene una parte transitoria y otra parte estable (en casos de particular inter´s). Esta descompoe sicion en la respuesta se obtiene tambien teniendo en la entrada un escal´n. Por ultimo el presente reporte o concluye haciendo unestudio de las frecuencias naturales que acompa˜an las respuestas del sistema. n Palabras clave: Procesamiento digital de se˜ales, funci´n Filtro, Ecuacion de diferencias, Matlab, filter, n o impulso unitario, escalon, IIR, FIR.

* Estudiante de ingenier´ electr´nica de la Universidad Distrital Francisco Jos´ de Caldas Facultad De ingenier´ E-mail arcordoıa o e ıa bar@correo.udistrital.edu.co **Estudiante de ingenier´ electr´nica de la Universidad Distrital Francisco Jos´ de Caldas Facultad De ingenier´ E-mail arbarreıa o e ıa ror@correo.udistrital.edu.co *** Estudiante de ingenier´ electr´nica de la Universidad Distrital Francisco Jos´ de Caldas Facultad De ingenier´ E-mail dannyheıa o e ıa rreno@yahoo.com

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1.

Introducci´n o

Ejercicio 1.1 Ecuaci´n de Diferencias. o a.Cree los vectores b y a que contengan respectivamente los coeficientes de x[n] y de y[n], de la siguiente ecuacion en diferencias:

Uno de los conceptos m´s importantes para el DSP es a poder representar la relaci´n de entrada y salida de cualo quier sistema LTI. Una ecuaci´n de diferencia de coeficiente o linear constante (LCCDE) nos sirve para expresar esta relaci´n en un sistema discreto. Elescribir la secuencia de o entradas y salidas, las cuales representan las caracter´ ısticas del sistema LTI, como una ecuaci´n de diferencia nos ayuda o entender y manipular el sistema. La ecuacion de diferencia es una ecuaci´n que muestra o la relaci´n entra valores consecutivos de una secuencia y la o diferencia entre ellos. Usualmente se escribe en una ecuaci´n o recurrente para que la salida delsistema se pueda calcular de las entradas de la se˜al y sus valores anteriores. n y[n] + 7y[n − 1] + 2y[n − 2] = x[n] − 4x[n − 1] La ecuaci´n de diferencia nos ayuda a describir la salida o del sistema descrito por la formula para cualquier n. La propiedad mas importante para esta ecuaci´n es la habilidad o de poder encontrar la transformada, H(z), del sistema. La forma general de este tipo deecuaci´n es la siguiente: o

y[n] + 0,9y[n − 2] = 0,3x[n] + 0,6x[n − 1] + 0,3x[n − 2] (2) b. Calcule analiticamente y[n] para x[n] = δ[n]. c. Ahora cree un vector impulso unidad, imp, de longitud 128. Genere los primeros 128 puntos de la respuesta al impulso del filtro (1). Use la funci´n stem para representar o gr´ficamente esos valores como una se˜al de tiempo discreto a n (ver help stem).Represente gr´ficamente los primeros 10 o a 20 puntos. Ejercicio 1.2 Respuesta al impulso con filter a. Use la funci´n filter para generar y representar la reso puesta al impulso h[n] de la siguiente ecuaci´n en difereno cias. Represente h[n] en el intervalo −10 ≤ n ≤ 100. 1 y[n] − 1,8cos(π/16)y[n − 1] + 0,81y[n − 2] = x[n] + x[n − 1] 2 (3)

N

M

ak y[n − k] =
k=0 k=0

bk x[n − k]

(1)

Deesta ecuaci´n, note que y[n-k] representa las salidas o y x[n-k] representa las entradas. El valor de N representa b. Determine tambi´n anal´ e ıticamente la respuesta al imel orden de la ecuaci´n de diferencia que corresponde a la pulso y confirme sus resultados. o memoria del sistema representado. Ya que la ecuaci´n deo pende de los valores pasados de la salida, para calcular una Ejercicio 1.3...