Ecuaciones en diferencias

Ecuaciones en diferencias

Dada una sucesión { xn } cuyos primeros términos son x1, x2, x3,… presentamos como ecuación en diferencias a toda ecuación que relaciona términos de esa sucesión.

Sea el número natural n, tal que el termino n-ésimo de una sucesión es
función de n, es decir

xn = x(n) , donde los términos siguientes

xn +1 , xn +2 ,... existen,

entoncesllamamos Ecuación en Diferencias a toda ecuación que relaciona al termino χn de
la sucesión, la sucesión incógnita representada por la forma:

F (n, xn , xn+1 , xn +2 ,....) = 0

El orden de una ecuación en diferencias es la diferencia entre el argumento n más grande y el más pequeño que aparecen en ella.

Ejemplo: las siguientes sonecuaciones en diferencias:

x_(n+2)+5nx_(n+1)+n^2 x_n=2
x_(n+2)+cosx_n=2n
Ambas ecuaciones anteriores son de orden 2.

Clasificación de las ecuaciones en diferencias:
-Lineales de orden k:
Una ecuación en diferencias se dice de orden k si tiene la forma:
ak (n) xn+k + ... + a1 (n) xn+1 + a0 (n) xn = R(n);donde los coeficientes ak (n), a0 (n) son no nulos, y R(n) es una función de n.Cuando la sucesión incognita se encuentra en una función no lineal,la ecuación se llama no lineal.
Una ecuación en diferencias lineal de orden k se dice homogénea si R(n) es nula. En caso contrario se dice no homogénea.
-Ecuaciones en diferencias de primer orden:
Sean A1 (n), A2 (n) y B(n) funciones conocidas tal que Ai (n) nunca se anula en el dominio de la variable n.
Entonces se llamaecuación en diferencias de primer orden lineal de xn a la expresión :
A1 (n) xn +1 + A2 (n) xn = B(n)
Si en particular B(n) es idénticamente cero, entonces se dice que la ecuación es homogénea. Si tanto A1 (n) comoA2 (n) son constantes, se llama ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes.

Una sucesión solución de una ec. en diferencias se dice general sicontiene la constante arbitraria C. Para cada valor de la constante arbitraria la sucesión queda determinada de una forma única; en tal caso, se dice que es solución particular de la ecuación en diferencias.

La solución general de la ecuación de diferencias lineal de primer orden homogena con coef. constante xn+1 - a xn=b, n=0,1,2,… está dada por xn = C, a donde a y C son constantes, con a distintode cero.

La solución general de la ecuación de diferencias lineal de primer orden con coef. constante xn+1 - xn=b, n=0,1,2,…, está dada por xn = C+bn,donde b y C son constantes.

Primera clase: Ecuaciones en diferencias de primer orden lineal con coef. constante
x_(n+1)-〖ax〗_n = R(n)con a ≠0
En efecto si R(n) es constante esto concuerda con la ecuación x_(n+1)-〖ax〗_n = b con a≠0 yb=0,1,2… Por otro lado, siendo x_n^p una solución particular de x_(n+1)-〖ax〗_n = R(n)con a ≠0 , entonces una solución general de esta es:
x_n= 〖Ca〗^n+x_n^p

Diferencia finita:
La expresión ecuación en diferencias hace suponer una ecuación en la cuál
intervienen diferencias, por lo cuál hasta aquí parece poco justificado éste nombre. Sin
embargo de las ecuaciones en diferencias que se identificana través de las sucesiones
aritméticas y geométricas respectivamente, resulta que ellas se pueden reescribir como:
x_(n+1)-x_n= b
x_(n+1)-〖ax〗_n= (a-1) x_n

donde los primeros miembros son iguales. Esta es una función que representa la variación de
x_n cuando la variable n aumenta en 1, y se le llama diferencia ó diferencia finita de x_n.

Se llama diferencia o diferencia finita de unasucesión x_n, a la función que
evalúa la variación entre dos términos consecutivos de dicha sucesión. Se denota por ∆x_n , y por lo tanto:

〖 ∆x_n=x〗_(n+1)-x_n

Las sucesiones aritméticas y geométricas dadas en las dos ecuaciones vistas primeramente en este apartado de diferencia finita se reescriben en términos de la diferencia finita como:

∆x_n=b
∆x_n=(a-1) x_n

Estas ecuaciones...