Ecuaciones_en_Diferencias

APLICACIONES

DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS

EN CÁLCULO FINANCIERO

Autores:
Bernardello, Alicia Blanca y Vicario, Aldo Omar

RESUMEN:
Se estudia la solución general de la ecuación en diferencias, lineal, de
coeficientes constantes, ordinaria, de enésimo orden, homogénea,
utilizando la teoría de espacios vectoriales.
Se trata también la solución general de la no homogénea por el método
de loscoeficientes indeterminados. Se desarrollan aplicaciones al
Cálculo Financiero.
CONSIDERANDO UNA CLASE DE TRANSFORMACIONES LINEALES
DEFINIDA EN EL ESPACIO DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE
ENTERA NO NEGATIVA:

Sea I un intervalo fijo y sea F

n

el conjunto de todas las funciones que

tienen definidos por lo menos n desplazamientos en I. Con F

0

=F

denotaremos el conjunto de todas las funcionesdefinidas en I. Para
cada n, el conjunto F

n

forma un espacio vectorial si se usan las

operaciones usuales para funciones.

Entonces se habla de espacio vectorial F

n

Definamos operador desplazamiento de orden n a

G ( E ) = a n E n + a n −1 E n −1 + ..... + a 1 E + a 0

150

donde los coeficientes ai (i = 0;1;2;········n) son constantes, aplicable a
funciones de variable entera no negativa Y t= f (t ) con el siguiente
significado.

G ( E ) Y t = ( a n E n + a n −1 E n −1 + ..... + a 1 E + a 0 ) Y

t

G ( E ) Y t = a n E n Y t + a n −1 E n −1 Y t + ..... + a 1 E Y t + a 0 Y
G (E) Y t = a n Y

t +n

+ a n −1 Y

t + n −1

+ ..... + a 1 Y

t +1

+a 0Y

t

t

Este operador es un operador lineal:
G(E) : {Fn ; + ; R ; • } → {F0 ; + ; R ; • } porque es combinación lineal de
i

operadoreslineales E con

0≤i ≤n

Dado este operador lineal observemos su núcleo:

N

u

[G ( E )] = { f (t )∈ F n / G ( E ) f (t ) = 0}

es el conjunto de todas las soluciones de una ecuación en diferencias
de n-ésimo orden, lineal, con coeficientes constantes, homogénea.

an Y

t +n

+ a n −1 Y

t + n −1

+ ..... + a 1 Y

t +1

+ a 0 Y t =0

151

Y dado que el núcleo de todo operador lineal es un subespaciovectorial
del espacio de salida podemos concluir que el conjunto de todas las
soluciones de esta ecuación en diferencias constituye un espacio
vectorial con las operaciones usuales de suma de funciones y producto
de una función por un escalar.
TEOREMA DE DIMENSIONALIDAD:
Nu [G(E)] es un subespacio de dimensión n de {Fn ; + ; R ; • }
(puede demostrarse de manera análoga al de ecuacionesdiferenciales:
Apostol, Calculus, volumen II, Buenos Aires: Ed. Reverté, 1977 Cap
6.6)
También puede demostrarse

( F n ; + ; R ; • ) es un subespacio del

( F ; + ; R ; • ) porque se cumplen las

espacio de todas las funciones

condiciones necesarias y suficientes para que esto ocurra:
1) F

n

⊆F

∧

F ≠∅

2) la función nula

f

3) + es cerrada en F

(0)
t

⇒ ∈F

n

n
Z

4) • es una ley de composiciónexterna sobre

F

n

ECUACIÓN EN DIFERENCIAS DE N-ÉSIMO ORDEN ,LINEAL, CON
COEFICIENTES CONSTANTES, HOMOGÉNEA:
Por lo tanto si encontramos una base del espacio solución de nuestra
ecuación

en

diferencias

todas

combinación lineal de dicha base.
152

ellas

pueden

escribirse

como

El

problema

independientes

Y

Y t= C1 Y

⇒

consiste
(1)
t

(1)
t

,Y

(2)
t

,Y

+C 2 Y

en

(3)
t

(2)
tencontrar

,....., Y

+C 3 Y

(n)
t

(3)
t

n

soluciones

.

+ ..... + C n Y

(n)
t

es la solución

general de la ecuación dada.
Lagrange propone considerar

Y t =α

t

solución de esta ecuación.

Entonces debe verificarla:

an Y

a nα

t +n

t +n

+ a n −1 Y

+ a n −1 α

t + n −1

t + n −1

α t ( a n α n + a n −1 α
⇒ 1)

α t =0

⇒

+ ..... + a 1 Y

+ ..... + a 1 α
n −1

t +1

t +1

+ a 0 Y t =0+ a 0α t =0

+ ..... + a 1 α + a 0 ) = 0

Y t = 0 función nula que si bien es solución no puede

pertenecer a la base por ser linealmente dependiente.
o bien
2)

a n α n + a n −1 α

n −1

+ ..... + a 1 α + a 0 = 0 ecuación característica que

nos provee de los n.
α para definir las soluciones que buscamos.

153

Para que las soluciones

Y

(1)
t

,Y

(2)
t

,Y

(3)
t

,....., Y

(n)
t

sean...