Ecuaciones exactas

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS Dr. Omar Arturo Domínguez Ramírez

ANTECEDENTES La ecuación diferencial siguiente: ������ + ������ = 0 ���� 1 + �� = 0 ���� �� ���� ���� =− �� �� E1

La solución particular representa el lugar geométrico de la hipérbola equilátera descrita a continuación:
y=C/x; C=1

100

Es una ecuación diferencial homogénea con la forma:
y

50

0

-50

E2-100

-150

-0.6

-0.4

-0.2

0 x

0.2

0.4

0.6

Discontinua para �� = 0. Considerando E4, y si ��(��, ��) = �� ,y ��(��, ��) corresponde a una función con derivadas parciales de primer Cuya solución general es descrita a partir del orden continuas en una región R del plano ����, siguiente procedimiento: se tiene lo siguiente: E3 ln �� = −ln �� + �� �� ln �� = �� − ln ��+�� �� =���� −1 ���� = �� � ���� ���� = −� �� �� ����(��, ��) ����(��, ��) ���� + ���� = 0 ���� ���� E6

Y también es una ecuación separable de la manera siguiente:

Figura 1: Lugar geométrico para la solución descrita en E4, para C=1.

, dando origen a la ecuación diferencial E1 con la solución E4. E4
Ejemplo 1: Si 10�� 2 �� + �� 4 = ��, y a partir de E6 resulta que: ����(��, ��) ��(10�� 2 �� + �� 4 )= = 20���� ���� ���� ����(��, ��) ��(10�� 2 �� + �� 4 ) = = 10�� 2 + 4�� 3 ���� ���� Reemplazando en E6, se obtiene: {20����}���� + {10�� 2 + 4�� 3 }���� = 0,

Es observable que E1, además de ser homogénea y separable, equivale a la diferencial del producto de �� y ��: Y cuya solución general por simple inspección es descrita en E5. ������ + ������ = ��(����) = 0 E5

Para la condición inicial��(1) = 1 la constante de integración es C=1.

siendo una ecuación diferencial que no es separable y que puede identificarse de la siguiente manera: ��(10�� 2 �� + �� 4 ) = 0

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ECUACIONES EXACTAS Definición 1: Una representación diferencial de la forma ��(��, ��)���� + ��(��, ��)���� E7

Lo que origina:

��(��, ��) = ��(��, ��) =Corresponde a una diferencial exacta en una región R del plano ���� si corresponde a la y, diferencial total de alguna función ��(��, ��). Una ecuación ��(��, ��)���� + ��(��, ��)���� = 0 E8

����(��, ��) �� ����(��, ��) = � � ���� ���� ���� �� 2 ��(��, ��) = �������� = = �� 2 ��(��, ��) �������� ����(��, ��) ����

����(��, ��) ����

����(��, ��) ����

E11 E12

E13

es una diferencial exacta sila expresión del primer miembro es una diferencial exacta.
Ejemplo 2: Con relación al Ejemplo 1, la ecuación {20����}���� + {10�� 2 + 4�� 3 }���� = 0

es exacta puesto que

Teorema 1: Sean ��(��, ��) y ��(��, ��) funciones continuas y con derivadas parciales de primer orden continuas en una región del plano ����. Entonces una condición necesaria y suficiente para que ��(��, ��)���� + ��(��,��)���� sea una diferencial exacta , es que: ����(��, ��) ����(��, ��) = ���� ���� E9

��(10�� 2 �� + �� 4 ) = {20����}���� + {10�� 2 + 4�� 3 }����

De ésta manera se prueba el Teorema 1, siendo en principio, la base fundamental para la solución de una ecuación diferencial exacta representada típicamente por la expresión E8.

=

�� ����(��, ��) � � ���� ����

La demostración de la condiciónnecesaria y suficiente E9 se cumpla. Se tiene que si ��(��, ��)���� + ��(��, ��)���� es exacta, entonces existe una función ��(��, ��) para la cual, ��(��, ��)���� + ��(��, ��)���� = ����(��, ��) ����(��, ��) ���� + ���� ���� ���� E10

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SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL EXACTA Sea una ecuación diferencial de la forma: ��(��, ��)���� + ��(��,��)���� = 0 E14

Integrando ambos miembros de la ecuación E19, se obtiene ��(��), ��(��) �� � ��(��, ��)����� ���� = � ���(��, ��) − ���� E20

, la ecuación es exacta si por el Teorema 1, se La solución de la ecuación diferencial E14, a cumple que: partir del procedimiento por ��(��, ��), es: ����(��, ��) ����(��, ��) E15 = E21 ���� ���� � ��(��, ��)���� Una vez probando que la...