Ecuaciones Exponenciales

INTRODUCCION:

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente
Para resolver una ecuación exponencial debemos tener en cuenta
a > 0 a ≠ 1
La estrategia consiste en expresar ambos lados de la ecuación con la misma base.
Ejemplo 1: 2x = 8
2 x = 2 3 Igualar las basessustituyendo 8 por 23
Solución x = 3
Una vez las bases son iguales, entonces se igualan los exponentes y se despeja para la variable.


OBJETIVO GENERAL:

Analizar y resolver las diferentes ecuaciones exponenciales según propiedades y criterio de aplicación.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Identificar las propiedades de los exponentes, para facilitar la soluciónde las ecuaciones exponenciales.
Analizar las ecuaciones exponenciales para hallar su aplicabilidad
Calcular cada ecuación aplicando las propiedades adecuadas y verificar su resultado.

1. LEYES DE LOS EXPONENTES

Antes de empezar con el desarrollo puntual de la temática planteada, es necesario tener claros los conceptos en cuanto al desarrollo de operaciones con exponentes y logaritmos,los cuales serán citados y explicados a continuación.

Sean a y b números positivos y, x y y números reales. Tenemos,

1.1. CASO 1

ax. ay= ax+y
Ejemplo:
32 . 33 = 3 2+3 = 35 = 243


1.2. CASO 2

(ax)y = ax.y

Ejemplo:
(23)2 = 2 2x3 = 26 = 64


1.3. CASO 3

a x/y = √(y&a^x )
Ejemplo:
24/2 = √(2&2^4 ) = √(2&16) = 4


1.4. CASO 4

a - x = 1/a^xEjemplo:
4-2 = 1/4^2 = 1/16


1.5. CASO 5

(ab) x = ax. bx
Ejemplo:
(4.3)3 = 43 . 33 = 48 . 27 = 1296




1.6. CASO 6

a^x/a^y = ax-y
Ejemplo:
4^3/4^2 = 43-2 = 41 = 4


1.7. CASO 7

(a/b)^2= a^2/b^2
Ejemplo:
(2/5)^2= 2^2/5^2 = 4/25


1.8. CASO 8
a0 = 1 de cualquier número elevado a potencia 0, siempre se obtendrá 1.
Ejemplo:150 = 1



2. LEYES DE LOS LOGARITMOS

Así como se mencionaba anteriormente, y también como lo es en este caso, es de vital importancia tener claros los conceptos de procedimientos con logaritmos según sus propiedades. Teniendo en cuenta que:

Si m y n son números positivos, entonces:


2.1. CASO 1

〖Log〗_nmn = n 〖Log〗_n m
Ejemplo:
〖Log〗_n 83 = 3 〖Log〗_n 8



2.2. CASO 2Log mn = Logm + Logn
Ejemplo:
Log (4.6) = Log4 + Log6



2.3. CASO 3

Loga/b = Log a – Log b
Ejemplo:
Log4/16 = Log 4 – Log 16


3. TEORIA GENERAL Y SOLUCION DE ECUACIONES EXPONENCIALES

Cuando la variable a despejar se encuentra en el exponente de una expresión, es cuando se habla de ecuaciones exponenciales, para su solución es necesario tener claros los conceptos delas propiedades de los exponentes y algunas de los logaritmos. A continuación veremos3 de los casos más utilizados a la hora de resolver dichas ecuaciones.

3.1. IGUALACION DE BASES


En este caso es necesario analizar, cuando es posible dejar en ambos lados de la ecuación la misma base. Es decir, 2x-3 = 8, se puede expresar de forma equivalente como 2x-3 = 23.No siempre será posible haceresto, pero en los casos que si podamos procedemos de la siguiente manera:

2x-3 = 23 Las bases son iguales.
x-3 = 3 Por lo tanto sus exponentes también obedecen a una igualdad
x = 3 + 3 Despejamos
x = 6 y reemplazamos en la ecuación original.

26-3 = 23 23 = 23 8= 8

Ejercicio:

8x = (1/32)^(x-2) Matemáticas para administración y economía S.T. Tan Pg. 118Ejercicio 19

(23)x= (2-5)x-2

23x = 2-5x+10

3x= -5x+10 3x + 5x = 10 8x = 10

X = 10/8 = 5/4



3.2. CAMBIO DE VARIABLE


En este caso, podemos hacer uso de un “truco” matemático, y cuando tenemos varios términos que se repiten en la ecuación, los podemos renombrar con una nueva incógnita, y de este modo logramos simplificar la expresión y hacer más sencillo su desarrollo....