Ecuaciones Homogeneas

Ecuaciones Homogenéas

dNy + A (x) ------ + … + A (x) --- + A (x)y = 0 dN-1y dy AN(x) ---N-1 1 0 N N-1 dx dx dx

Ecuaciones no Homogenéas

dNy dN-1y dy AN(x) ---- + AN-1(x) ------ + … + A1(x)--- + A0(x)y = G(x) dxN dxN-1 dx G(x) ≠ 0

Ejemplos:
 2y´´ + 3y´ - 5y = 0

Homogénea lineal de segundo orden.  x2y´´´ + 6y´ + 10y = ex NO Homogénea, lineal de tercer orden.  Operadordiferencial D  D2 + 3D-4  5x3D3 – 6x2D2 + 4xD + 9  Operador diferencial de N-ésimo orden: L = aN(x)DN + aN-1(x)DN-1 + … + a1(x)D + a0(x)

Propiedades de los operadores diferenciales:
• D(cf(x)) = cD(f(x)) • D{f(x) + g(x)} = Df(x) + Dg(x)

En general: • L{αf(x) + βg(x)} = αL(f(x)) + βL(g(x)), α, β ctes.

Toda ED. Se puede escribir:

• Homogénea L(y) = 0 • No Homogénea L(y) = g(x)Principio de superposición:

Ecuaciones Homogéneas
Sean y1, y2, y3, …, yk soluciones de una ecuación diferencial homogénea de orden N, en un intervalo I.

Entonces la combinación lineal y = c1y1(x) +c2y2(x) + … + ckyk(x),
Donde ci, i = 1, 2, 3, …, k son constantes arbitrarias. Es también una solución en el intervalo.

Superposición: EDH. y1 = x2 y y2 = x2 lnx son soluciones de en (0, ∞).x3y´´´-2xy´+4y = 0

Por el principio de superposición, la combinación lineal Y = c1x2+c2x2 ln x es también una solución en el intervalo.

Dependencia lineal e
Independencia lineal. Definición.- Sedice que el conjunto de funciones f1(x), f2(x), f3(x), …, fN(x) Son Linealmente dependiente en el intervalo I, si existen constantes c1, c2, c3, …, cN diferentes de cero, de modo que: c1f1(x)+c2f2(x) + …+ cNfN(x) = 0 Para toda x en el intervalo.

Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es Linealmente independiente

Ejemplo: Funciones LinealmenteDependientes.
Las funciones: f1(x) = cos2(x), f2(x) = Sen2(x), f3(x) = sec2(x), f4(x) = tang2(x) son Linealmente dependientes en el intervalo (-¶/2, ¶/2) dado que:

c1cos2(x) + c2Sen2(x) +...