Ecuaciones Homogeneas

Matemáticas V Ecuaciones Diferenciales ITL Cuando una ecuación de la forma

Febrero de 2011 Ecuaciones Homogéneas

M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0

…..1

Se dice que es homogénea si amboscoeficientes M y N son funciones homogéneas del mismo grado. Es decir tienen la propiedad de:

M (tx, ty )  t n M ( x, y)

N (tx, ty )  t n N ( x, y)

Se dice que tiene coeficientes homogéneos oque es una ecuación homogénea. Nota: Aquí la palabra homogénea no significa lo mismo que en el tema de ecuaciones homogéneas Una ecuación diferencial homogénea siempre puede reducirse a una ecuaciónseparable por medio de una sustitución algebraica adecuada.
Definición: Se dice que

f ( x, y)

es una función homogénea de grado n, si para algún

número real n. Ejemplos:

f (tx, ty )  t n f( x, y) .

a) f ( x, y)  t  3 xy  5 y
f (tx, ty )  (tx )  3 (tx )(ty )  5(ty )

 tx  3 t 2 xy  5ty
 t x  3 xy  5 y





 tf ( x, y)
b) f ( x, y)  x 3  y 3

La funciónes homogénea de grado 1

f (tx, ty )  (tx ) 3  (ty ) 3

Matemáticas V Ecuaciones Diferenciales ITL Ing. José Alfredo Gasca González

Febrero de 2011 Ecuaciones Homogéneas

 t 3 x3  t 3 y3 t 3 (x3  y3 )
3

 t 2 x3  y3

 t f ( x, y )
c)

3 2

La función es homogénea de grado 3/2

f ( x, y)  x 2  y 2  1 f (tx, ty )  (tx ) 2  (ty ) 2  1  t 2 x2  t 2 y2 1

 t 2 f( x, y)
d) f ( x, y ) 

La función es no es homogénea.

x 4 2y tx 4 2(ty ) tx 4 2ty

f (tx , ty ) 





x 4 2y
La función es homogénea de grado cero. METODO DE SOLUCIÓN

 t 0f ( x, y)

Una ecuación de la forma M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0 , donde M y N tienen el mismo grado de homogeneidad, puede reducirse a una ecuación de variables separables usando cualquiera delas sustituciones

y  ux

x  vy

Donde U y V son la nuevas variables dependientes

Matemáticas V Ecuaciones Diferenciales ITL Ing. José Alfredo Gasca González Por ejemplo; Si se elige...