Ecuaciones Integrales Lineales

ECUACIONES INTEGRALES LINEALES
José Darío Sánchez Hernández Bogotá -Colombia. Abril- 2008 danojuanos@hotmail.com danojuanos@tutopia.com danojuanos@yahoo.com
Una vez más pongo en el ciberespacio, para compartir con mis amigos cibernautas mis notas de clase, con las cuales creo firmemente que cumplo con mi propósito de llevarles asignaturas que contribuyan en la formación del matemático virtual ycon el contenido estoy siendo fiel a mi propósito inicial, de un aprendizaje por medios virtuales.

CONTENIDO
PROLOGO §1. INTRODUCCIÓN Y PRELIMINARES 1.1. Ecuaciones integrales de primera especie. 1.2. Ecuación de Abel. 1.3. Ecuación integral de segunda especie. 1.4. Problema que lleva a ecuaciones integrales. 1.5. Reducción de ecuaciones diferenciales a ecuaciones integrales. 1.6. Ejercicios.§2. TEORIA CUALITATIVA PARA LAS ECUACIONES INTEGRALES. 2.1. Método de los determinantes de Fredholm. 2.2. Núcleos iterados. 2.3. Ejercicios. §3. TEORIA CUANTITATIVA. ECUACIONES INTEGRALES CON NÚCLEO DEGENERADO. 3.1. Ecuaciones de Fredholm. 3.2. Ecuaciones de Hammerstein. 3.3. Raíces características y funciones propias. 3.4. Ejercicios. §4. TEORIA CUALITATIVA PARA LAS FUNCIONES INTEGRALES. 4.1.Conceptos Fundamentales. 4.2. Operadores integrales de Fredholm. 4.3. Ecuaciones de núcleo simétrico. §.5. ALTERNATIVA DE FREDHOLM

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5.1. Caso de las ecuaciones integrales. 5.2. Teoremas de Fredholm. Caso de los núcleos degenerados. 5.3. Teoremas de Fredholm para ecuaciones de núcleo no degenerado. 5.4. Demostración de los Teoremas deFredholm. 5.5. Ejercicios. BIBLIOGRAFIA.

PRÓLOGO Al igual que el estudio de la geometría, en nuestro país el estudio de las ecuaciones integrales presenta un gran desinterés dentro de nuestro medio matemático, no obstante su notable aplicación especialmente en el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales. Alguna vez el Dr. Yu Takeuchi me invitó a estudiar algunos planteamientos sobre elproblema de Dirichlet; entonces sentí una sensación que me llevaba a una ampliación sobre la teoría de integración y en especial sobre las ecuaciones integrales y me dije; en los distintos coloquios en los cuales he participado nunca mencionan esta gigantesca rama del análisis funcional, ésta es la razón que me lleva a presentar en un coloquio estas notas de clase, con el ánimo de extender lo que yahabía hecho en otros coloquios, relativa a las ecuaciones diferenciales y en la misma dirección divulgativa. Quiero enfocar estas notas como una herramienta para trabajar en dirección a los operadores de Fredholm y en particular mostrar la famosa Alternativa de Fredholm, tópico del cual tengo algunos resultados generalizados hacia operadores monótonos y de los cuales ya he hecho algunas notasdivulgativas en el Boletín de Matemáticas del año 1987. Estas notas constan de 5 parágrafos; el primero está dedicado a la presentación de la teoría, con su motivación historica; los dos parágrafos siguientes los dedico al estudio cuantitativo de las ecuaciones integrales lineales y los dos últimos a la parte cualitativa de la teoría, finalizando con un breve estudio de los operadores integrales,punto de contacto con el análisis espectral. Para el lenguaje he usado la palabra degenerado en lugar de separable y no degenerado en lugar de inseparable, pues históricamente Fredholm usaba este lenguaje.

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§1.

Dada una función continua a tramos y de orden exponencial 0 aBb, entonces podemos hablar de su transformada de Laplace la cualestá dada por Pa0 b œ '! /=> 0 a>b .> œ J a=b
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INTRODUCCIÓN Y PRELIMINARES.

Ahora bien, si conocemos la transformada de Laplace J a=b de una función y deseamos recuperar la función, la hallamos mediante la transformada inversa de Laplace, usando la fórmula de inversión 0 aBb œ 'b9a>b .> œ 0 aBb

a"Þ"Þ"b

es llamada Ecuación integral lineal de primera especie . Las funciones O aBß...