Ecuaciones integrales

Universidad Gran Mariscal De Ayacucho Escuela De Ingeniería De Sistema Cátedra: Matemática II

Alumno: Oleada Albert C.I:18.012.600 Facultad: Ing. Sistemas Ciudad Bolívar 10 Octubre del 2006 INDICE Introducción..03 INTRODUCCIÓN AL TEMA Desarrollo.04−27 FUNCION PRIMITIVA DE UNA FUNCION. PROP. DE LAS PRIM. DE UNA FUNC. INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNC INTEGRALES INMEDIATAS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN (I ). Integración por cambio de variable (o sustitución). MÉTODOS DE INTEGRACIÓN ( II ). Conclusión28

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INTRODUCCION Hasta ahora he aprendido las reglas de derivación y algunas de sus aplicaciones.

He tenido en cuenta que cuando se invierte algo donde intervienen más de una operación, éstas ha de invertirse pero en orden opuesto. Por aclarar esto, si consideras la operación de ponerte elcalcetín y después el zapato, lo inverso será primero quitarte el zapato y luego una camisa. Cuando tenemos xn, al derivar multiplicamos por el exponente y luego disminuimos éste en una unidad, lo inverso será, primero aumentar el exponente en una unidad y después dividir por el exponente. FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN Dada una función cualquiera f(x) definida en un intervalo cerrado [a,b], sellama función primitiva de f(x) a otra función F(x) cuya derivada sea f(x) en dicho intervalo. Es decir, F'(x) = f(x) para todo x de [a,b]. Así: La función sen x es una primitiva de cos x puesto que (sen x)' = cos x.

PROP. DE LAS PRIM. DE UNA FUNC. Primera propiedad Si F(x) es una primitiva de f(x) y C una constante cualquiera (un número), la función F(x) + C es otra primitiva de f(x).Demostración: Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones, y que la derivada de una constante es siempre cero. (F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x) Ejercicio: primitivas de una función

ðððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

ðððððððððððððððððððððððððððððððððððð ð Encontrar tres primitivas de la función cosx. Resolución: 2

ð Se sabe que sen x es una primitiva de cos x. ð Tres primitivas de cos x son, por ejemplo,

ðððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

ðððððððððððððððððððððððððððððððððððð Segunda propiedad Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas. Demostración: Si F(x) es una primitiva de f(x), para cualquier constante C, F(x) + C es otraprimitiva según la anterior propiedad. Así, hay tantas primitivas como valores se le quieran dar a C. Tercera propiedad Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante. Esto es, si F(x) y G(x) son primitivas de la función f(x), entonces F(x) − G(x) = C = cte. Demostración: Hay que recordar que si una función f(x) definida en un intervalo cualquiera tiene derivada cero en todoslos puntos, entonces la función f(x) es constante. Es decir, si f'(x) = 0, entonces f(x) = C. Pues bien, si F(x) es una primitiva de f(x), F'(x) = f(x); si G(x) es otra primitiva de f(x), G'(x) = f(x). Restando miembro a miembro, F'(x) − G'(x) = (F(x) − G(x))' = f(x) − f(x) = 0, de donde se deduce que F(x) − G(x) = C. INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNC. Se llama integral indefinida de una funciónf(x), al conjunto de todas las primitivas de la función f(x), y se simboliza

Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de equis». Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),

donde C representa una constante llamada constante de integración. 3

Ejercicio: cálculo de primitivas

ðððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Resolución: ð Puesto que una primitiva de cos x es sen x,

Resolución:

Por consiguiente,

Resolución:

ðððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

ðððððððððððððððððððððððððððððððððððð INTEGRALES INMEDIATAS De la derivación de funciones elementales se deducen sus correspondientes integrales llamadas inmediatas. Es necesario...