Ecuaciones Irracionales

matemátcas
ECUACIONES IRRACIONALES
Las ecuaciones irracionales, o ecuaciones con radicales, son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical. Por ejemplo :

Ejemplo 1 : Resolver
Se elevan al cuadrado ambos miembros de la ecuación :

;

;

Al elevar al cuadrado el miembro de la izquierda se elimina la raiz cuadrada, y al elevar al cuadrado el miembro de la derecha se obtiene4:

Para resolver una ecuación irracional se recomienda seguir los siguientes pasos : 1) Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales. 2) Se elevan ambos miembros de la ecuación al índice que posea la raíz. 3) Se resuelve la ecuación obtenida. 4) Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuacióninicial. Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación (Se dice que al elevar ambos miembros al cuadrado podemos estar añadiendo una solución ficticia). 5) Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten los dos primerospasos del proceso hasta eliminarlos todos.
ECUACIONES IRRACIONALES

Una vez eliminado el radical se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita : X=4+8 ; X = 12

Para comprobar el resultado debo sustituir el valor obtenido (X=12) en la ecuación inicial :

2 = 2 Al verificar que se cumple la igualdad podemos afirmar que la ecuación irracional se cumple “si y solo si” X = 12.

Ing.José Luis Albornoz Salazar

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Ejemplo 2 : Resolver
1ero. Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos

X1 = 8

y

X2 = 1

2do. Se elevan al cuadrado los dos miembros.

4to. Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra quetiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación (Se dice que al elevar ambos miembros al cuadrado podemos estar añadiendo una solución ficticia). Comprobando con X1 = 8 la ecuación irracional inicial : ; , para lo cual sustituyo este valor en

3ero. Se resuelve la ecuación obtenida. Al elevar al cuadradoel miembro de la izquierda se elimina la raiz cuadrada, y al elevar al cuadrado el miembro de la derecha debemos recordar el producto notable que dice que el cuadrado de la diferencia de un binomio es igual al cuadrado del primer miembro menos el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo : 3X + 1 = X2 – (2)(X)(3) + (3)2 ; 3X + 1 = X2 – 6X + 9

;

;

Esto nosindica que X = 8

SI ES SOLUCIÓN

Una vez “eliminada” la raíz, la ecuación puede ser resuelta como una ecuación de segundo grado. 3X + 1 – X2 + 6X – 9 = 0 – X2 + 9X – 8 = 0 Al aplicar la fórmula general de segundo grado o resolvente podemos determinar que los valores que anulan la ecuación anterior (raíces) son :

Comprobando con X2 = 1 la ecuación irracional inicial : ; ;

, para lo cualsustituyo este valor en

;

Esto nos indica que X = 1

NO ES SOLUCIÓN

La ecuación irracional estudiada se resuelve con X = 8
ECUACIONES IRRACIONALES

Ing. José Luis Albornoz Salazar

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Ejemplo 3 : Resolver
1ero. Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos (en este caso es más “cómodo” pasar el radical al miembro de la derecha)X1 = 3

y

X2 = 5

2do. Se elevan al cuadrado los dos miembros.

4to. Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación (Se dice que al elevar...