ECUACIONES IRRACIONALES

ECUACIONES IRRACIONALES.
Ecuación Irracional es una igualdad en la que intervienen raíces y cuya incógnita
forma parte de una o más cantidades subradicales.
Ejemplos:

2 x 5 7
3 2 x 4 3x 2 5 x 3
Para resolver una ecuación irracional debemos elevar cada miembro de ella una o más
veces a las potencias que correspondan para eliminar sucesivamente las raíces que
contienen a la incógnita.
Ejemplo 1:2x 5 7 / ( )2
2

2x 5
49
2x 5 49
2x = 54
x = 27
Nota: Toda ecuación irracional debe comprobarse porque al elevar la ecuación a una
potencia par, la ecuación se transforma en otra, por lo que en algunos casos su solución
no satisface la ecuación original.
Comprobemos en la ecuación original:
2·27 5 7

54 5 7
49 7
7=7
Por lo tanto x = 27 satisface la ecuación, es decir, es su raíz o solución.
Ejemplo2:
Resolver

x 5
x 5

x 2 6 aquí conviene aislar las raíces:
6
x 2

x 5

2

6

x

2

2

x 5 36 12 x 2 x 2
12 x 2 36 x 2 x 5 / ( )2
2

2

12 x 2
33
144(x+2) = 1089
144x+288 = 1089
89
x =
16
Comprobemos usando este valor en la ecuación original:
89
16

es su raíz o solución.

5

89
16

2

6 y obtenemos 6=6, por lo tanto

89
16

EJERCICIOS PROPUESTOS:
1.- Resolver las siguientes ecuacionesirracionales:
a)
c)

x 5
3

2 3x

3
4

x 7
2

e)

x 1 1

g)

14 3
2 x 1 1
2

i)

3

x3

6x 2

b) 2

3x

4

3
4

x

1

5

323 3 x

d)

f)

5x

h)

8

x

i)

2

3

1
2

x3

2

3x 2

x 1

1
3

2 x

3

2
x

2.- Plantea la ecuación y resuelve los siguientes problemas:
a) Si la raíz cuadrada de un número se aumenta en dos, resulta 5. ¿Cuál es le número?
b) El volumen de una esfera mide 36 m3. Calcule la medidade su radio.
c) El área de un triángulo equilátero es 100 3 m2. Indique la medida del área del
cuadrado que tiene por lado la altura del triángulo.
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto se define como la distancia que hay entre un número y su origen. En
general, para resolver una ecuación con valor absoluto debemos buscar aquellos valores
que satisfacen la expresión x k utilizando lassiguientes propiedades:

x

k es equivalente a x

x

k es equivalente a x

k o x

k

k o x

k

Ejemplos
1.

Encuentre la solución para 2 x 3

x 5

Solución
Según la propiedad se debe resolver por casos
Caso 1
2x 3 x 5
2x x 5 3
x 8

Caso 2
2x 3

( x 5)

2x 3

x 5

2x x

5 3

3x

2

x

2
3
2
;8
3

De esta forma el conjunto solución es CS

2.

Encuentre la solución para

3
6x 1
5

6

Solución
Al pasaral multiplicar y dividir se obtiene 6 x 1

10

El resultado de un valor absoluto no puede ser negativo. Por lo tanto, la ecuación no
tiene solución.
3.

Encuentre la solución para

| 2x2 + 2x | = | -3x + 3 |

Solución
Aplicar propiedad:
2x2 + 2x = -3x + 3

2x2 + 2x = -(-3x + 3)

ó

2x2 + 5x -3 = 0

2x2 + 2x = 3x - 3
2x2 - x + 3= 0

(2x - 1)(x + 3)=0
x=½

x

La solución es: CS

1

x

x=-3

14(2)(3)
2(2)

1

23
4

1
; 3
2

INECUACIONES IRRACIONALES
Son inecuaciones en las que variable forma parte de la cantidad subradical, es decir es
una inecuación de la forma f x g x , f x g x , f x h x
g x etc.
En este tipo de inecuaciones se pueden aplicar todas las transformaciones que se aplican
a las ecuaciones irracionales, sin embargo no es posible sustituir las soluciones para
verificar laveracidad de la desigualdad porque, generalmente, la solución de las
inecuaciones son conjuntos con infinitos números, por lo tanto se debe garantizar que
“todas” las transformaciones conduzcan a una desigualdad equivalente a al original.

En el caso de una inecuación de la forma f x g x , es necesario para resolverla que
se cumplan todas y cada una de las siguientes condiciones:
i) f(x)> 0, para que fx esté definida como un número real.
ii) g(x)>0, ya que no es posible que un número negativo sea mayor que uno positivo1.
iii)

f x

gx

f x

gx

0 , pues ésta es la condición que impone la

inecuación original2.
Según esto, se puede enunciar el siguiente método para resolver las inecuaciones
irracionales:
1. Hallar los valores de x para los cuales la raíz está definida como número real, es...