ecuaciones lineales de primer orden

ITESM, Campus Monterrey
Departamento de Matem´ticas
a
MA-841: Ecuaciones Diferenciales
Lectura #7

1

Profesor: Victor Segura

Unidad I: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

1.4Ecuaci´n Diferencial Lineal de Primer Orden
o

Una ecuaci´n diferencial de primer orden, se dice que es lineal en y, si tiene la forma, o
o
mediante ´lgebra puede llevarse a la forma siguiente:
ay + f (x)y = r(x)

(1)

Observe que la caracter´
ıstica de este tipo de ecuaciones es el hecho de que la variable y as´
ı
como y est´n elevadas a la potencia 1, adem´s de que el coeficient dey es una funci´n de
a
a
o
la variable x.
Este tipo de ecuaciones diferenciales recibe adem´s el nombre de ecuaci´n diferencial lineal
a
o
homog´nea cuando el t´rmino r(x) es cero, y si r(x) esdiferente de cero, recibe el nombre
e
e
de lineal no-homog´nea.
e
Son muchas las ´reas de ingenieria donde aparecen con frecuencia este tipo de ecuaciones
a
diferenciales, tal es el caso encircuitos el´ctricos con inductacias y resistencias, con capace
itores y resistencias, aplicaciones de la segunda ley de Newton tales como sistema masaresorte, caida libre con fricci´n proporcional ala velocidad, entre otros.
o

1.4.1

Soluci´n de la Ecuaci´n Diferencial Lineal.
o
o

Para encontrar la soluci´n de ecuaciones difereciales lineales, vamos a arreglar la ecuacion
o
(1). Enun principio, vamos a escribirla de la forma siguiente
(f (x)y − r(x)) dx + dy = 0

(2)

Observe que en (2) se presenta en la forma general de una ecuaci´n diferencial exacta, pero,
o
¿Ser´ enrealidad exacta? o ¿Ser´ necesario algun factor de integraci´n?
a
a
o
Para resolver lo anterior, vamos a varificar la condici´n de exactitud y en caso de no serlo,
o
buscaremos alg´n factor deintegraci´n.
u
o

Veamos si la ecuaci´n (2) es una ecuaci´n diferencial exacta,
o
o
M (x, y) = f (x)y − r(x)

N (x, y) = 1
∂N (x, y)
=0
∂y

∂M (x, y)
= f (x)
∂y

por tanto no es...