Ecuaciones Lineales y Desigualdades con Valor Absoluto

Introducción al Álgebra


Ecuaciones Lineales y Desigualdades con Valor Absoluto


La resolución de ecuaciones y de desigualdades de primer grado con valor absoluto, requiere de dos procedimientos (Caso 1 y Caso 2), en que se utilizan las mismas leyes de una ecuación y de una inecuación lineal normal.

Definición de Valor Absoluto
El valor absoluto de un número real x se denota por |x| yse define como sigue:
x,si x ≥ 0
|x| = {
−x, si x < 0
Veremos ahora unos teoremas que nos servirán para resolver las ecuaciones.

Teorema 1: Para cualquier numero real x:

1. |x| ≥ 0

2. |x| = 0 ←→ x = 0

3. |x|² = x²
___
4.√x² = |x|

5. −|x| ≤ x ≤ |x|

Teorema 2: Para cualquieras números reales x y a:a ≥ 0
|x| = a ←→ { y
x = a y/o x = −a

Teorema 3: Para cualquieras números reales x y a:

|x| = |a| ←→ ( x = a y/o x = −a)

Teorema 4: Para cualquieras números reales x y a:

1. |x| ≤ a ←→ −a ≤ x ≤ a

2. |x| ≥ a ←→ x ≤ −a ∨ a ≤ x

Teorema 5: Para cualquieras números reales x y a:

1. |x + a| ≤ |x| + |a|

2. |x · a| = |x| · |a|

Ejemplo1: Resolver la ecuación |x − 8| = 12.
Solución: por el Teorema 2, la primera desigualdad es obvia (12 ≥ 0). Por la segunda desigualdad
tenemos dos casos para analizar

Caso 1:
Si x − 8 < 0 entonces, |x − 8| =−(x − 8).
x-8=12
x=12+8
x=20
Caso 2:
Si x − 8 < 0 entonces, |x − 8| =−(x − 8).
-( x-8 )=12
x-8=-12
x =-12+8x=-4

Ahora bien la solución; S= {x/ |x − 8| = 12 } = {-4,20}

Ejemplo 2: Resolver la ecuación: |2x + 1| = x + 3.
Solución: por el Teorema 2, tenemos las siguientes opciones.

x + 3 ≥ 0
|2x + 1| = x + 3 ←→ { y
2x + 1 = x + 3 y/o 2x + 1 = −(x + 3)
Por la primera desigualdad, claramente x tiene que ser mayor que-3.
x + 3 ≥ 0
x ≥ −3.

Caso 1:
2x+1 = x+3
2x-x = 3-1
x = 2

Caso 2:

2x+1 = -(x+3)
2x+1= -x-3
2x+x = -3-1
3x = -4
x= −4/3
Tanto x = −4 / 3 como x=2, cumplen la primera desigualdad

La solución es: S= { x/ |2x + 1| = x+3 } = { -4 / 3 , 2 }.





Ejemplo 3: Resolver la ecuación | x − 2| = 3x − 9.

Solución: por el Teorema 2, tenemos las situaciones3x − 9 ≥ 0
| x − 2| = 3x − 9 ←→ { y
x − 2 = 3x − 9 y/o x − 2 = −(3x − 9)

De la primera desigualdad tenemos que 3x − 9 ≥ 0 y despejando obtenemos x ≥ 3. Esta desigualdad es fundamental para establecer que valores sirven como solución.

Caso 1:
x-2 = 3x-9
x-3x = -9+2
-2x = -7
x = - 7/2

Caso 2:
x-2 = -(3x-9)
x-2 = -3x+9
x+3x = 9+2
4x = 11
x= 11/4
De estas dos soluciones solo -7/2 cumple que sea mayor que 3. La solución 11/4 es menor que 3 y se descarta.

S={x/ |x − 2|=3x-9 }={ 7 /2 }.

Ejemplo 4: Resolver la desigualdad |x + 12| ≤ 4.

Solución: por el Teorema 4, parte 1, tenemos las siguientes opciones.

|x + 12|≤ 4 ←→ −4 ≤ x + 12 ≤ 4

restando 12 a los tres términos, tenemos

−4 − 12 ≤ x + 12 − 12 ≤ 4 − 12

−16 ≤ x ≤ −8

lo que es equivalente a x ∈ [−16,−8]
y la solución finalmente S=[-16,-8].

Ejemplo 5: Resolver la desigualdad | x − 9| ≥ 14.

Solución: por el Teorema 4, parte 2, tenemos las siguientes opciones.

Caso 1:
x − 9≤ −14
x ≤ −14 + 9
x ≤ −5

x ∈] − ∞,−5]

S1 =] − ∞,−5]

Caso 2:
14 ≤ x − 9
14 + 9 ≤ x
23 ≤ x

x ∈ [ 23, +∞ [

S2 = [ 23, +∞ [
La solución global es: S =] − ∞,−5 ] ⋃ [ 23,+∞ [
Problemas que involucran igualdades con valor absoluto

1. [pic]. Solución : x = [pic] o x = - [pic]

2. [pic]. Solución x = 2 o x= - 2.

3. [pic]. Solución: x = 0...