ecuaciones lineales

Ecuaciones Lineales con dos variables

Sistemas de Coordenadas Cartesianas
 
El sistema de coordenadas cartesianas es formado por dos rectas; una horizontal y otra vertical, en el cual ambos se intersecan en el punto  0  de cada recta. Las dos rectas son llamados ejes.
Estos dos ejes dividen el plano cartesiano en 4 secciones llamadas  cuadrantes. Estos cuadrantes son numeradas enforma “contra el reloj” del I al IV de la siguiente forma:


 Cada punto en el plano se puede identificar por un par de números  llamado par ordenado. El primer número del par, que  se llama la abscisa; está en la recta  horizontal, el eje de x.  El segundo número  del par se llama la  ordenada que se encuentra en la recta vertical, el eje de y.
(1, 4)      Eje de x              Eje de y                                                                Abscisa               Ordenada
 
Los números negativos y positivos se colocan de la siguiente manera:

     
El sistema de coordenadas es usada además de localización de puntos en el plano, para graficar el conjunto de soluciones de ecuaciones de dos variables como:
y = 4x + 8
y = x2 + 2x + 5
3y = 5x + 8
 
Digamos que queremoshacer la gráfica  la ecuación lineal  y = 3x + 7. Hay que asignar valores a la  x  y resolverlo  para encontrar el valor de  y.  Con  los resultados se  formaran  los puntos de la gráfica de la siguiente manera:
 
Ej.  Encontrar los puntos de la ecuación  y = 3x + 7. Vamos a utilizar la siguiente tabla para organizar el trabajo. Le daremos a  la x , los valores  de -2, -1, 0, 1 y 2
 
x
y-2
 1
-1
 4
0
 7
1
 10
2
 13
Y = 3x + 7
Y = 3(-2) + 7    [Cuando la x es -2, la y es 1]
Y = -6 + 7
Y = 1
 
Y = 3x + 7
Y = 3(-1) + 7    [Cuando la x es -1, la y es 4]
Y = -3 + 7
Y =4
 
Y = 3x + 7
Y = 3(0) + 7    [Cuando la x es 0, la y es 7]
Y = 0 + 7
Y = 7
Y = 3x + 7
Y=3(1) + 7
Y= 3 + 7
Y = 10            [Cuando la x es 1, la y es 10]
Y = 3x + 7
Y=3(2) + 7
Y= 6 + 7
Y = 13            [Cuando la x es 2, la y es 13]
 
x
y
-2
1
-1
4
0
7
1
10
2
13
 
Y asi se resuelve con cada valor que le quieras dar a la x  de la tabla. Es por esto que x se llama la variable independiente, ya que le puedes dar cualquier valor de su dominio, que son los valores permitidos para la x. En el caso de está ecuacion  lineal, x puede sercualquier número real, pero en nuestro estudio se encontrarán ecuaciones que tienen restricciones en su dominio.
Veamos como queda la gráfica de la ecuación  y = 3x + 7. (Ver Parte 

 
  Para verificar que un punto sea solución de la ecuación hay que hacer lo siguiente:
1. Sustituir la abscisa por x.
2. Sustituir la ordenada por la y. (siempre recordar la forma {x, y} )
3. Resolver laecuación.
4. Si resulta ser  igualdad, entonces el punto es solución de la ecuación.
 
Ejemplo 1:  ¿ Es ( 3,11) una solución a la ecuación  y = 2x + 5?
Y = 2x + 5
11 = 2(3) + 5   < Sustituir los puntos por x y y>
11 = 6 + 5    < Resolver>
11 = 11    < Hay igualdad>
 
Quiere decir que el punto (3,11) es una solución a la ecuación.
Ejemplo 2: ¿ Es (2,8) una solución  de la ecuación   y =2x + 5?
y =  2x + 5
8 = 2(2) + 5   < Se sustituyo la x  y la y>
8 = 4 + 5    < Resolver>
8 = 9     
El punto (2,8) no es solución.
 
 
Interceptos, pendiente y ecuación de la recta
 Las ecuaciones lineales son siempre de la forma:
                                    y = mx + b
 Donde  m  es la pendiente y la  b es el intercepto en y.
 El intercepto en y esta expresadapor: (0,b) y es donde la recta corta el eje de y
 El intercepto en x esta expresada por: (a,0) y es donde la recta corta el eje de x. 
Si la ecuación es y = 2x + -6, el intercepto en  y  seria:
   (0,-6)
 
Ejemplo 1: Buscar el intercepto en y de la ecuación  y = 3x + -5.
Solución: En este caso, la b es -5; quiere decir que el intercepto en y es (0, -5)
Ejemplo 2: Buscar el...