Ecuaciones Lineales

ECUACIONES LINEALES Y CUADRATICAS

Una ecuación en una variable es una proposición en la que dos expresiones donde al menos una contiene la variable, son iguales. Las expresiones se llaman lados de la ecuación. Como una ecuación es una proposición, podría ser verdadera o falsa, dependiendo del valor admisible de la variable. A menos que se restrinja de otra manera, los valores admisibles de lavariable son los del dominio de la variable. Los valores admisibles de la variable, si los hay, que proporcionan una proposición verdadera se llaman soluciones o raíces de la ecuación. Resolver una ecuación significa encontrar todas sus soluciones.
X+5=9
La proposición x+5=9, es verdadera cuando x=4 y falsa para cualquier otra elección de x. Es decir, 4 es una solución de la ecuación x+5=9.También se dice que 4 satisface la ecuación x+5=9, porque al sustituir 4 en lugar de x, se obtiene una proposición verdadera.
X2-4=0
X+1

Tiene como soluciones a x=-2 y x=2.
Por lo común. Se escribirá la solución de una ecuación en notación de conjuntos. Este conjunto se llama conjunto de soluciones de la ecuación. Por ejemplo, el conjunto de soluciones de la ecuación x2-9=0 es (-3,3).Algunas ecuaciones no tienen solución real. Por ejemplo, x2+9=5 no tiene soluciones reales, porque no existe un número real cuyo cuadrado sumado a 9 sea igual a 5.




Procedimiento para obtener ecuaciones equivalentes
1. Intercambie los dos lados de la ecuación:
Sustituya 3=x por x=3
2. Simplifique los lados de la ecuación combinando términos semejantes eliminando paréntesis, etcétera:Sustituya (x+2)+6=2x+(x+1)
Por x+8=3x+1
3. Sume o reste la misma expresión en ambos lados de la ecuación :
Sustituya 3x-5=4
Por (3x-5)+5=4+5
4. Multiplique o divida ambos lados de la ecuación por la misma expresión diferente de cero:
Sustituya 3x = 6_
X-1 x+1

Por 3x * (x-1) = _6__ * (x-1)
X-1 X-1

5. Si un lado de laecuación es 0 y el otro se factoriza, entonces se utiliza la propiedad del producto cero e igualar a 0 cada factor:
Sustituya x(x-3) = 0
Por x=0 o x-3 =0.


ECUACIONES CUADRATICAS

Las ecuaciones cuadráticas son ecuaciones como las siguientes
2x2 + x + 8 = 0
3x2 – 5x + 6 = 0
X2 – 9 = 0
Una ecuación cuadrática es una ecuación equivalente a una de la forma
ax2 + bx + c = 0 dondea, b y c son números reales y a=0.
Se dice que una ecuación cuadrática escrita en la forma ax2 + bx + c = 0 esta en la forma estándar. En ocasiones, una ecuación cuadrática se llama ecuación de segundo grado, porque el lado izquierdo es un polinomio de grado 2. Se analizaran tres maneras de resolver ecuaciones cuadráticas: factorizando, completando cuadrados y usando la formula cuadrática.Factorización
Cuando una ecuación cuadrática esta escrita en la forma estándar ax2 + bx + c = 0, puede ser posible factorizar la expresión del lado izquierdo como el producto de dos polinomios de primer grado. Entonces, al usar la propiedad del producto cero e igualar cada factor, se resuelve las ecuaciones lineales que resultan y se obtienen las soluciones a la ecuación cuadrática.

Solución deuna ecuación cuadrática factorizando

Resuelva la ecuación x2 – 5x + 6 = 0
Solución: La ecuación esta en la forma estándar especificada en la ecuación
(1). En lado izquierdo se factoriza como
x2 – 5x + 6 = 0
(x – 2) (x – 3) = 0
Se iguala cada factor a 0 y se resuelven las ecuaciones de primer grado obtenidas.
X – 2 = 0 o x – 3 = 0 propiedad del producto cero
X = 2o x= 3 despejar
El conjunto de soluciones es (2,3).

Método de la raíz cuadrada
Suponga que requiere resolver la ecuación cuadrada x2 = p donde p > 0 es un
Número no negativo. Se procede como en los ejemplos anteriores.
X2 – p = 0 poner en forma estándar
(x – p) (x + p) = 0 factorizar (sobre números reales)
X = p o x = - p despejar.
Se tiene el siguiente resultado:
Si x2 =...