ecuaciones lineales

TEMA 2: APLICACION DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
ECONÓMICOS. GRÁFICOS Y EJEMPLOS.
1.

Definiciones

2.

Teoremas sobre rangos

3.

Método de Gauss – Jordan
3.1Método de Gauss-Seidel
3.2. Método de eliminación de Gauss

4.

Ecuaciones Lineales Homogéneas
4.1. Método de Cramer
4.2. Ecuaciones lineales no homogéneas.

5.

Análisisinsumo-productos estático intersectoriales

6.

Productos y precios, teoría y aplicaciones

7.

Clasificaciones de los productos de consumo
7.1. Clasificaciones de los productos industriales

8.

Precio y Estrategias de fijación de precios
8.1. La oferta y la demanda en relación con el precio.
8.2. Estrategias de fijación de precios.

1. DEFINICIONES:

-Ecuación algebraica lineal:es un conjunto de ecuaciones lineales donde x1, ..., xn son las
incógnitas, b1, ..., bm se denominan términos independientes y los números aij se
llaman coeficientes de las incógnitas, formando una matriz que denominaremos A, matriz de
coeficientes. Cuando el término independiente sea cero, estamos ante un caso particular de
sistemas que denominamos homogéneos.
Ejemplo:

-Sistemashomogéneos: es un sistema de “m” ecuaciones y “n” incógnitas donde todos los
términos independientes son nulos. Ejemplo:

-Sistemas no homogéneos: son un sistema de “m” ecuaciones y “n” incógnitas donde todos los
términos independientes son nulos. Ejemplo:

Atendiendo al número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales podemos
clasificarlo en tres tipos:
-Sistema incompatible: son aquellosque no poseen solución.
-Sistema compatible: son aquellos que poseen solución.
Dentro de ellos, podemos hablar de:
-Sistema compatible determinado: sistemas con una única solución.
-Sistema compatible indeterminado: sistemas con infinitas soluciones.
En un sistema de ecuaciones lineales sólo se pueden dar estas tres situaciones, es decir, o no
tiene solución, o tiene una, o tiene infinitas,por lo tanto, nunca podemos encontrar un
sistema lineal, con, por ejemplo, tres soluciones

2. TEOREMA SOBRE RANGOS:
Teorema de rango o más conocido como teorema de Rouché-Frobenius (matemático francés), este
teorema fue creado en el año 1875.
Dado un sistema de ecuaciones lineales, en el cual “m” ecuaciones lineales con “n” incógnitas,
su expresión sería el siguiente:

Esta expresiónmatricial se puede expresar de diversas formas como es el caso de matriz
coeficiente, matriz incógnita, matriz de términos independientes y por último matriz
ampliada, a continuación pasaremos a mostrar un ejemplo de cada caso:

1.Matriz
Coeficiente

2.Matriz
Incognita

3.Matriz
Términos
independientes

4.Matriz
Ampliada

EJEMPLO
GRÁFICO

Este teorema permite conocer si unsistema de ecuaciones tiene solución a partir del estudio del rango
de la matriz asociada al sistema (matriz de coeficientes A) y del rango de la matriz ampliada de éste.
(matriz B).

Determinado:

compatibles:rango
(A)=rango(B)

Rango(A)=
Rango(B)= nº de
incógnitas

Indeterminado:
Rango(A) =Rango(B)<
nº de incógnitas

sistemas

incompatibles:
rango(A)≠rango(B)

No tiene soluciónÚnica solución

Infinitas soluciones

Ejercicio 1: (ejemplo profesora)
3x+y+2z=0

3 1 2

x

-x+3y-2z=0

-1 3 -2

y

2 -1 1

z

2x+y+z=0

0
=

0

3 1
; A/B=

0

2

0

-1 3 -2

0

2 -1 1

0

e M3x4

(SISTEMA HOMOGÉNEO)
Rango (A/B)=rango(A)=3=nºinc (S.C.D única solución)
A =9-4+2-12+1-6=-10≠0 Rango(A)=3

3. MÉTODO DE GAUSS:

Carl Friedrich Gaussfue un matemático, astrónomo y físico alemán que influyó en multitud de
ramas de las matemáticas. Fue un niño prodigio del que se cuentan muchas anécdotas
infantiles, en el cual, muchos matemáticos le consideran unos de los matemáticos más grandes
de todos los tiempos.
-Método de Gauss para resolver problemas:
El método de Gauss para resolver problemas de ecuaciones es, en cierta forma,...