Ecuaciones Lineales

UNIDAD 1 Ecuaciones e inecuaciones

1.1

1.1 Ecuaciones lineales

1

Ecuaciones lineales

OBJETIVOS


Resolver ecuaciones lineales en una variable.



Resolver ecuaciones que conducen a una ecuación lineal utilizando las propiedades de las
ecuaciones.



Resolver ecuaciones con fracciones y cuya solución conduce a una ec uación lineal.

Ecuaciones
Una ecuaciónalgebraica de una variable es un enunciado de la forma

A  B
En donde A y B son expresiones algebraicas con una sola variable. A continuación se muestran algunos
ejemplos de ecuaciones con una variable:
2x  5  4 x  8
t 1
t5
t
p2  3 p  5  0

Se dice que un número es una solución o raíz de una ecuación, si al sustituir dicho número por la
variable de la ecuación obtenemos un enunciadoverdadero. Por ejemplo, para probar que el número 2 es
una solución de la ecuación

7 x  3  9x  8  6
2
4
Se sustituye el número 2 en lugar de la variable x, se efectúan las operaciones aritméticas en cada lado
de la ecuación

7(2)  3 9(2)  8

6
2
4
17  10  6
2
4
17  5  6
2
6 6
como el enunciado que se obtuvo es verdadero, decimos que x  2 es una solución de laecuación
anterior.
Dos ecuaciones se dice que son ecuaciones equivalentes si tienen exactamente las mismas
soluciones, por ejemplo las ecuaciones
6x  12  0 y x  1  1
son equivalentes porque ambas tienen como única solución al número x  2 .
Se dice que una ecuación es una identidad, cuando cualquier valor que tome la variable da como
resultado un enunciado verdadero. Por ejemplo, laecuación:
x 2  4  ( x  2)( x  2)

es una identidad, pues al sustituir x por cualquier número real se obtiene un enunciado verdadero.
Mientras que una se llama ecuación condicional o simplemente ecuación, cuando solamente algunos
números son soluciones de la misma.

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2

Por ejemplo la ecuación

x2  x  6  0
Tiene solamentedos soluciones que son x  3 y x  2 .

Solución de una ecuación
Resolver una ecuación consiste en encontrar los valores de la variable que hacen que el enunciado sea
verdadero. Para ello se transforma la ecuación en una serie de ecuaciones equivalentes, hasta obtener la
solución de la ecuación. Estas transformaciones se fundamentan en dos propiedades de las ecuaciones, la
propiedad aditivay la propiedad multiplicativa. Estas propiedades se enuncian a continuación
Propiedades de las ecuaciones
1. Simplificar cualquiera de los lados de la ecuación utilizando las operaciones
algebraicas y las propiedades de los números reales. Las dos ecuaciones
siguientes son equivalentes
7x  6  5x  8
2x  6  8

2. Sumar o restar la misma cantidad a ambos lados de una ecuación produceecuaciones equivalentes, como se ilustra con el siguiente ejemplo

2x  6  8
2x  6  6  8  6
2x  2
En general si a  b entonces a  c  b  c .
3. Multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por una cantidad diferente de
cero, produce ecuaciones equivalentes, como por ejemplo
2x  2
2
2
x 1

En general si a  b y c  0 entonces ac  bc .
Para ilustrar el uso de laspropiedades de las ecuaciones se presenta el siguiente ejemplo

Ejemplo 1: Uso de las propiedades de las ecuaciones
Resuelva la ecuación

2x  4(50  x )  140

Solución
Desarrollando el producto entre paréntesis y sumando términos semejantes se tiene
2x  200  4 x  140
 2x  200  140
Ahora se resta 200 a ambos lados de la ecuación (propiedad aditiva) y luego
simplificando

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3

 2x  200  200  140  200
 2x   60

Dividiendo ambos lados de la ecuación anterior entre –2, se obtiene el valor de x
 2x   60
2
2
x  30

Para comprobar que el valor de obtenido, es en realidad la solución de la ecuación, se
sustituye éste valor en la ecuación original y se realizan las operaciones aritméticas...