Ecuaciones Lineales

ECUACIONES LINEALES DE UNA VARIABLE

Una ecuación es una proposición que establece una igualdad entre dos expresiones algebraicas, llamadas miembros de la ecuación.

Ejemplos:

1) 2x – 5 = 3
2) 3x2 – x = 8
3) 5x + 2y = x – 3y + 2
4) x2 + y2 = 16
5) x + 6 = x – 2
6) (x + 6)(x – 6) = x2 – 36
7) (x + 2)2 = x2 + 4x + 4
8) x2 + 4 = 0
9) 2x = 2x + 8

Lasolución de una ecuación es el valor o valores que al ser sustituido(s) en la(s) variable(s) correspondiente(s) hacen que la igualdad se cumpla. Dicha solución recibe el nombre de raíz de la ecuación.

Si la ecuación solo se satisface para algunos valores de la variable, recibe el nombre de ecuación condicional.

Si la ecuación se cumple para todos los valores de la variable permitidos, entoncesse le conoce como identidad.

Si la ecuación no tiene solución, se dice que es una proposición falsa.

De los ejemplos dados anteriormente, las ecuaciones 1,2,3,4 y 5 son ecuaciones condicionales; las ecuaciones 6 y 7 son identidades; la ecuación 8 no tiene solución en el campo de los números reales y la ecuación 9 es una proposición falsa.

En el desarrollo de este tema solo seabordarán ecuaciones condicionales de las llamadas ecuaciones lineales de una variable o de primer grado. Son llamadas así porque solo tienen una variable y su exponente es de tipo uno

La idea fundamental, al resolver ecuaciones, consiste en ejecutar en ellas las operaciones que produzcan en ecuaciones equivalentes y más sencillas. Este proceso continúa hasta obtenerse una ecuación cuya soluciónsea más evidente.

Es importante recordar las propiedades de la igualdad que hacen posible la obtención de ecuaciones equivalentes a partir de la ecuación original.

* Si a = b, entonces a + c = b + c Propiedad Aditiva

* Si a = b, entonces a . c = b . c Propiedad Multiplicativa

Para la solución de ecuaciones se recomienda utilizar la siguiente estrategia:

* Simplificar ambosmiembros de la ecuación, suprimiendo los símbolos de agrupamiento y la reducción de términos semejantes.
* En la ecuación obtenida, aplicar las propiedades de la igualdad, para reunir todas las variables en el mismo lado de la ecuación, de preferencia en el lado izquierdo, y todas las constantes en el otro miembro de la ecuación, generalmente el derecho.
* Aplicando nuevamente laspropiedades de la igualdad, aislar la variable en un miembro de la ecuación y obtener la raíz o solución.
* Verificar o comprobar la solución obtenida en la ecuación original.


Una ecuación lineal en la variable x es una ecuación que puede escribirse en la forma ax + b = 0, a 0.

A continuación se mostrará el procedimiento para resolver y encontrar la solución de algunas ecuaciones.

1)3x – 5 = 7
3x – 5 + 5 = 7 + 5 Aplicando la Propiedad Aditiva.
3x = 12 Sumando términos semejantes.
3x = 12 Aplicando la Prop. Multiplicativa.
3 3
x = 4 Solución de la ecuación.

Comprobación En la ecuación original.
3x – 5 = 7
3(4) – 5 = 7
12 – 5 = 7
7 = 7 La solución es correcta.


2) -2x + 8 + 5x – 4 = -2
3x+ 4 = -2 Reuniendo términos semejantes.
3x + 4 – 4 = -2 -4 Aplicando la Prop. Aditiva.
3x = -6 Sumando términos semejantes-
3x = -6 Aplicando la Prop. Multiplicativa.
3 3
x = -2 Solución de la ecuación.

Comprobación En la ecuación original.

-2x + 8 + 5x – 4 = -2
-2(-2) + 8 + 5(-2) – 4 = -2
4 + 8 – 10 – 4 = -2-2 = -2 La solución es correcta.


3) 6x + 21 = 84 – 3x
6x + 21 – 21 + 3x = 84 – 3x + 3x – 21 Aplicando las Prop.
de la igualdad para reunir términos
semejantes en el mismo lado de la
igualdad.
6x + 3x = 84 – 21 Eliminando los términos opuestos.
9x = 63 Sumando términos semejantes.
9x = 63 Aplicando la Prop. Multiplicativa.
9 9...