Ecuaciones Lineales

Aplicaciones
lineales
Matriz asociada, vectores
y valores propios y diagonalización
Ángel Alejandro Juan Pérez
Cristina Steegmann Pascual
PID_00151938

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Aplicaciones lineales

Índice

Introducción ............................................................................................

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Objetivos...................................................................................................

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Conocimientos previos ..........................................................................

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1. Ejemplo introductorio .....................................................................

9

2. Concepto de aplicación lineal ........................................................ 11
2.1. Aplicaciones entre conjuntos......................................................... 11
2.2. Aplicaciones lineales entre espacios vectoriales ............................. 12
3. Matriz asociada a una aplicación lineal ..................................... 14
4. Núcleo e imagen de una aplicación lineal .................................. 17
5. Monomorfismos y epimorfismos .................................................. 20
6.Cambios de base en una aplicación lineal .................................. 21
7. Vectores y valores propios .............................................................. 24
8. Diagonalización de endomorfismos ............................................. 27
8.1. Diagonalización: conceptos y resultados ....................................... 27
8.2. Aplicación al cálculo de potencias de unamatriz .......................... 32
8.3. Aplicación al estudio de sistemas dinámicos.
Estudio de un caso .......................................................................... 34
Resumen .................................................................................................... 38
Ejercicios de autoevaluación ............................................................... 39Solucionario ............................................................................................. 44
Glosario ..................................................................................................... 66
Bibliografía .............................................................................................. 66

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Aplicaciones lineales

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Introducción

En este módulo se presentan los principales conceptos asociados a la idea de
aplicación lineal, y se establece la gran conexión existente entre las aplicaciones lineales y las matrices (en cierto sentido, toda aplicación lineal queda unívocamente determinada por una matriz y, por otra parte, a toda matriz se le
puede asociar una determinada aplicaciónlineal). En el módulo se introducen
también los conceptos de vector y valor propio, ambos asociados a un endomorfismo (aplicación lineal de un espacio en sí mismo), y se analiza el problema de la diagonalización de matrices cuadradas (o, equivalentemente, el
problema de la diagonalización de endomorfismos).
Además de su interés conceptual, las ideas y resultados aquí presentados tienen aplicacionesdiversas, tanto a ámbitos teóricos como prácticos. Por un lado, se aplican en la optimización de funciones de varias variables y al cálculo
de potencias de matrices. Por el otro, también se aplican en el estudio de sistemas dinámicos (sistemas que evolucionan con el paso del tiempo), tanto los
de tipo discreto como los de tipo continuo. Al final del módulo se incluye un
ejemplo en el que seanaliza uno de estos sistemas dinámicos.
Los abundantes ejemplos y ejercicios resueltos que se incluyen durante el módulo y al final del mismo, constituyen una fuente de aprendizaje adicional que
ayudará a comprender mejor las ideas abstractas presentadas aquí.

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Objetivos

El objetivo general de este módulo es presentar los principales...