Ecuaciones Lineales

Sistemas de ecuaciones lineales
Es un conjunto de ecuaciones que deben resolverse simultáneamente. En los sucesivo se considerarán únicamente sistemas de ecuaciones algebráicas lineales, o sea conjuntos de ecuaciones de la forma:
a11 X 1 + a 12 X2 + a13 X 3 +... + a 1n X n = C 1 (a)
a 21 X 1 + a 22 X 2 + a 23 X 3 +... + a 2n X n = C 2 (b) (2)
...
a n1 X 1 + a n2 X 2 + a n3 X 3 + ... + a nn Xn = C n (c)
Aplicando la definición de producto entre matrices, este sistema de n ecuaciones algebraicas lineales con n incógnitas puede escribirse en forma matricial.
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Este sistema de ecuaciones puede escribirse simbólicamente como:
A X = C (4)
en donde A se llama Matriz del Sistema. La matriz formada por A, a la quese le ha agregado el vector de términos independientes como última columna, se le llama la Matriz Ampliada del Sistema, que se representa con (A, C)
Método de Gauss

Gauss es uno de los matematicos mas importantes de todos los tiempos. ¡Fue un GENIO!

El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediantelas operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy facil de resolver.

Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incognitas porque al ir loscoeficientes de una misma incognita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incognita a la que multiplican.
Ejemplo

La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

es:

Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:

Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuación la primera.

Si ahora intercambiamos la segunda ytercera filas ( ecuaciones ), obtenemos la siguiente matriz triangular superior:

que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

que es equivalente al inicial.

Solucionamos la tercera ocuacion para obtener    :

En la primera y segunda ecuación, sustituimos     por la solucion de la tercera ecuación   (     ), para obtener:

La segunda ecuación es ahora una ecuación con unasola incognita,   , que resolvemos para obtener   .   Sustituimos, en la primera ecuación,     por 1   (     ). Esto nos da una ecuación en    :

que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:

Regla de Cramer

Gabriel Cramer nacio Ginebra ( Suiza ) 1704 y murio en 1752. A él le debemos la regla que lleva su nombre. ¡Gracias Gabriel por tu contribucióna las Matemáticas!

Esta regla es un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se puede utilizar cuando la matriz     de coeficientes del sistema es cuadrada y de determinante no nulo. El que     sea cuadrada significa que el numero de incognitas y el numero de ecuaciones coincide.

Cuando el sistema de ecuaciones

satisface las condiciones arriba mencionadas, su soluciónviene dada por:

En general

donde     es la matriz que se obtiene sustituyendo la i-esima columna de     por la matriz de los terminos independientes,    .

Ejemplo

Consideremos el sistema de ecuaciones:

En este sistema de ecuaciones lineales, la matriz     de los coeficientes es una matriz cuadrada y   . Por lo tanto, podemos aplicar la regla de Cramer para resolverlo:Sistemas compatibles indeterminados
Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:

Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es y que pasa por el punto , por lo que ambas intersecan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o...