ecuaciones lineales

OBJETIVO
Resolver problemas sobre sistemas de ecuaciones lineales homogéneas y no homogéneas mediante la
interpretación, expresión y representación en términos de matrices y determinantes utilizando definiciones
propiedades y métodos adecuados para cada tipo, en situaciones reales propias de la ingeniería y ciencias
aplicadas.

CONTENIDO:
4.1
4.2
4.3

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESMETODOS PARA SOLUCIONAR UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
CUESTIONARIO

4.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
En esta sección introduciremos terminología básica, estudiaremos los diferentes tipos de sistemas de ecuaciones
lineales y sus formas de soluciones. Enunciaremos y demostraremos las propiedades más importantes.
En el curso de Algebra Lineal la solución del sistema AX = B se expresa,corrientemente, según el método de Cramer como una razón de los determinantes.
Dichas fórmulas no sirven para la resolución numérica del sistema AX = B, puesto
que requieren el cálculo de n + 1 determinantes, lo que, a su vez, exige un gran
número de operaciones aritméticas, hasta n!. Si incluso escogemos el mejor
método, para el cálculo de un solo determinante se necesitará aproximadamentetanto tiempo que se requiere para la resolución de un sistema de ecuaciones
lineales por los métodos numéricos modernos. Además, hemos de tener en cuenta,
que los cálculos según las fórmulas de Cramer conducen con frecuencia a los
grandes errores de redondeo.
La peculiaridad de la mayoría de los métodos numéricos para AX = B consiste en
que se abandona la idea de buscar la matriz inversa. Elrequisito principal que se
levanta ante el método de resolución es el mínimo de operaciones aritméticas
suficientes para la búsqueda de una solución aproximada con la precisión
prefijada.
Los métodos directos permiten obtener, después de un número finito de
operaciones, una solución exacta del sistema de ecuaciones lineales, siempre que la
información de entrada viene dada con toda la exactitudy los cálculos se realizan
sin redondeo. El método iterativo permite hallar la solución aproximada del
sistema construyendo una sucesión de aproximaciones, a partir de cierta
aproximación inicial. La propia solución aproximada es el resultado de los cálculos
obtenido después de haberse realizado un número finito de iteraciones.

140

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Calcular losconjuntos de valores simultáneos de varias incógnitas, que satisfagan
a varias ecuaciones; se dice entonces que estas ecuaciones forman un sistema, y
cada conjunto de valores que las satisface a todas se llama una solución. Un
sistema sin soluciones, se llama inconsistente; y si tiene infinitas soluciones, se
llama indeterminado.
DEFINICION 4.1.1
Una ecuación lineal sobre  en n variables es unaexpresión de la
forma:
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b
donde los ai, b son números conocidos y los xi son variables. Los ai se
denominan coeficientes de los xi respectivos, y b es el término
independiente de la ecuación.
Las ecuaciones en dos variables se representan geométricamente por una recta;
las tres variables por un plano; para más de tres variables no se tienen
representación visual,pero los geómetras le llaman hiperplano.
Una solución de la ecuación lineal
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b
es un conjunto ordenado de n valores k1, k2, ..., kn tales que
a1k1 + a2k2 + ... + ankn = b.
Un sistema de m ecuaciones lineales en n variables, es una expresión de la
forma
 a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
 a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

...


 am1 x1 am 2 x2  ...  amn xn  bm
donde los aij y los bi pertenecen a los números reales. El primer subíndice en los
coeficientes indica el número de la ecuación, y el segundo, el número de la
variable. Para un sistema de m ecuaciones lineales en n variables xi, i = 1, 2, ..., n,
el conjunto solución S es el subconjunto de n definido por S = S1  S2  ...  Sm
donde Si es el conjunto solución...