Ecuaciones Lineales

I- Ecuaciones y Ecuaciones Lineales. Antes de iniciar la unidad existen una serie prerrequisitos básicos para la comprensión correcta del significado de ecuaciones y de ecuaciones lineales. Los primeros conceptos que debemos recordar son los siguientes:  Expresión algebraica: Es un conjunto de símbolos alfanuméricos, relacionados entre si mediante operaciones aritméticas: Adición,multiplicación, sustracción, potenciación, radicación y división. Ejemplos:

1 x 2  7 x3  9 2 5 xp  7 pm mn  5 p

 Polinomio en una variable: Es una expresión algebraica que contiene una sola variable y cuyos exponentes pertenecen al conjunto de los enteros no negativos.

p  x    ai xi ; donde a i  K y i=0,1,2....n
i 0

n

 Grado de un polinomio: Es el mayor exponente que afecta lavariable en el polinomio.

1 5 x 2  2 x  5 es de segundo grado. 2  9x+5 es de primer grado o lineal.

1

II-Operaciones algebraicas Las operaciones algebraicas son:  Adición n  Sustracción    Multiplicación   División  Potenciación  Radicación.

n







Elementos opuestos o Inversos aditivos: Dos elementos a y b se dicen ser opuestos si su suma es el elemento neutro dela adición que es el cero.

ab  0

O lo que es lo mismo

a   a   0

ya que b es

el opuesto de a. Ejemplo: Expresión

b  a
Opuesto

.

3

3

3

3
5x

5x

 x3
6x 2

x3
 6x 2

Elementos inversos multiplicativos o recíprocos Dos elementos son recíprocos multiplicativos o inversos multiplicativos si su producto es el elemento neutro de la multiplicación1.

2

a b Esto es el, el reciproco de b es a  a  b      1 fracciones es 1.  b  a 
b no esta definida 0

ya que el producto de ambas

Siempre que a y b sean distinta

de cero ya que la división entre cero no esta definida.

Ejemplos El reciproco de o inverso multiplicativo de

8 es

1 1 ya que al multiplicar  8     1 que es el elemento neutro 8 8 de lamultiplicacion.

Expresión Inverso multiplicativo o reciproco

b
3
5x
 5 2

1 b0 b 1  3
1 x0 5x



2 5

3xmn

1 3xmn

Otras formas de aplicar el inverso multiplicativo al resolver operaciones. Si tenemos una operación algebraica expresada de la siguiente forma

3

 5x  2   x 8  2  5 x  1 2 x  3     2  5 x  1 2 x  3    2x  3    2  5 x  1 podemos encontrar el inverso multiplicativo en los ter min o semejantes, en al g unas operaciones  5x  2  ya que esta exp resion   2  5 x  1   podemos reescribirla   1 de la siguiente forma   2  5 x  1     ambos factores obtenemos  5x  2  la exp resion original ,   2  5 x  1     1 ahora bien si observamos esta exp resion   2  5 x  1     no es mas que elinverso multiplicativo de 2  5 x  1 y es por eso que podemos simplificarlar ya que su producto nos da el elemento neutro del multiplicacion que es uno.
Nota Importante: Cuando al resolver una ecuación lineal o de primer grado el valor de la ingconita es una igualad como la siguiente 1) 5=5 o 4=4 y desaparece la variable esto nos indica que la ecuación lineal es una identidad y todos los númerosreales excepto los que no pertenecen a su dominio la satisfacen.

5x  2

al multiplicar

4

2)

Si nos queda 0=2 o cero igual a cualquier número real esto significa que es un absurdo matemático y que la ecuación no tiene solución, porque no es cierto que 0 sea igual a 2.

Ejemplo de una ecuación sin solución.

6 55 2 x  11  11  Dominio D=R-    2   El mcd es 2x+11.Resolucion:

 2x+11  

6   5  2x+11   2 x  11  

 2x+11  5 

El inverso multiplicativo de 2x+11 es 1 ya que al realizar el producto 2x+11 de ambos obtenemos en neutro de la multiplicacion que es 1.

1  6   5  2 x  11



 2 x  11  5 

6  10 x  55  10 x  55 aplicando propiedades tenemos: 10x+  10 x   55   55   6 0  6 esto es un absurdo...