Ecuaciones Lineales

SISTEMAS DE ECUACIONES

¿ Cuántas veces habrás intentado resolver un
problema de ingenio ? Muchas, ¿ verdad ?

Es posible que te encuentres con algunas
dificultades para plantear este problema.
Nuestra propuesta es entonces escribir los
datos en un cuadro en forma sistematizada.

Escala de intercambio de objetos
El indio Toro Sentado había
conseguido en una de sus
andanzas, cazar unáguila de la
que obtuvo 189 plumas, artículo
muy estimado especialmente
entre jefes de tribu, ya que se
utilizaban p
ara hacer toda clase
de adornos personales.
Toro Sentado estaba muy
contento pues con ellas podría
conseguir pieles suficientes para
hacer un toldo nuevo. Como
aún no se conocía el dinero, el
intercambio se realizaba en
base a objetos y de acuerdo a la
siguienteescala:
12 plumas de águila por 6
flechas, 9 flechas equivalían a 4
lanzas, 15 lanzas se cambiaban
por 5 cuchillos de piedra, cada
cuchillo se cotizaba igual que
un machete y por 8 machetes se
obtenían 40 pieles de oso.
¿ Cuántas pieles de oso
cons iguió Toro Sentado a
cambio de 189 plumas ?

12 plumas

6 flechas

9 flechas

4 lanzas

15 lanzas

5 cuchillos

1 cuchillo

1machete

8 machetes

40 pieles

Es decir si usamos los símbolos:
pl : pluma

c: cuchillo

f:

flecha

m: machete

l:

lanza

pi: piel

el enunciado nos indica que:
12 pl
9f
15 l
c
8m
109

=
=
=
=
=

6f
4l
5c
m
40 pi

Este conjunto de igualdades o ecuaciones tiene como característica que todas ellas están
relacionadas entre sí.
En matemática a estosconjuntos se los llama Sistemas de ecuaciones.

DEFINICIÓN
Llamaremos Sistema de Ecuaciones a todo
conjunto de ecuaciones relacionadas entre sí . En
cada una de ellas figuran una ó más incógnitas.

DEFINICIÓN
S0 es una solución del sistema de ecuaciones si y
sólo si S0 satisface cada una de las ecuaciones del
sistema.
Si el sistema tiene n incógnitas x1 , x2 , x3 , ..., xn
entonces S0 es unan - úpla de la forma
0
( x1 , x 0 ,...., x 0 )
2
n

DEFINICIÓN
Resolver un sistema significa hallar todas
sus soluciones

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Trataremos ahora de determinar cuantas pieles de oso pudo obtener Toro Sentado con 189
plumas utilizando la escala de intercambio que te indicamos en el cuadro.

189 pl = 189

1
189 4
189 4 1
189 4 1
189 4 1
f=
⋅ l=
⋅ ⋅ c=
⋅ ⋅ m=
⋅ ⋅ ⋅ 5 pi = 70pi
2
29
2 93
2 93
2 93

Toro Sentado consiguió 70 pieles de oso para su nuevo toldo.

A partir de aquí nos proponemos resolver sistemas de ecuaciones algebraicas. En particular
trataremos sistemas de ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones mixtos.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

DEFINICIÓN
Diremos que un sistema de ecuaciones es un sistema de m
ecuaciones lineales con nincógnitas si y sólo si cada
ecuación del sistema es una ecuación lineal.

EJEMPLO:
2 x + 3 y + z = 1

 5x + 2 y -z =0
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SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS

Llamamos
b = cantidad de aviones bimotores
t = cantidad de aviones trimotores
c = cantidad de aviones cuatrimotores
Planteamos nuestro problema:

b = 20


b + t + c = 55

2 b + 3 t + 4 c = 170
o el sistema equivalente:

Una compañía de aviación tiene
una flota de 55 aviones de los
cuales hay 20 bimotores. Los
restantes tienen tres y cuatro
motores. Si en toda la flota hay
170 motores ¿cuántos aviones de
tres motores hay? ¿y de cuatro?

b = 20


c = 35 - t

 3 t + 4 ( 35 - t ) = 130

Resolvemos y obtenemos: t = 10 y c = 25
Solución: 10 trimotores
25cuatrimotores

Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas e s
simplemente un conjunto de ecuaciones de la forma :

 a x + a 12 y = b1
S :  11
a 21 x + a 22 y = b 2

a i, j ∈ R ; b i ∈ R

El par ( x0 , y0 ) es una solución del sistema
S si y sólo si al reemplazar en cada ecuación
del sistema , x por x0 e y por y0 , s e
obtienen dos identidades numéricas.

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Interpretación...