ecuaciones liniales

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problemaconsiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en señales, análisis, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales deanálisis numérico.
En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:

Donde son las incógnitas y los números son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo . Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:
(1)
Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

Donde A es una matriz m por n,x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordán se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes. La matriz A se llama matriz de coeficientes de este sistema lineal. A b se le llama vector de términos independientes del sistema y a x se le llama vector de incógnitas.

Laintersección de dos planos que no son paralelos coincidentes es una recta.
Un sistema con incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.
En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta. La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectasrepresentan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución.
En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un único punto, las coordenadas de este serán lasolución al sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie.
Para sistemas de 4 o más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que dichos problemas no se enfocan desde esta óptica.
Tipos de sistemas.

Tanto la primera comola segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es y que pasa por el punto , por lo que ambas intersecan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.
En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como funciónmatemática del resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.
La condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matriz del sistema sea cero al igual que el rango de la matriz ampliada y menor al número de incógnitas (ypor tanto uno de sus auto valores será 0):

De hecho, de las dos condiciones anteriores se desprende, que el conjunto de soluciones de un sistema compatible indeterminado es un subes pació vectorial. Y la dimensión de ese espacio vectorial coincidirá con la multiplicidad geométrica del auto valor cero.
Sistemas incompatibles [editar]
De un sistema se dice que es incompatible cuando no...