Ecuaciones logarítmicas

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José A. Jiménez Nieto

ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES
1. ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita figura en un logaritmo.
Para resolver una ecuación logarítmica se aplican las propiedades de los logaritmos:

log a ( M ⋅ N ) = log a M + log a N

log a

M
= log a M − log a N
N

log a M n = n ⋅ log a M

y larelación log a M = log a N ⇔ M = N (si los logaritmos de dos números en la misma base son iguales, entonces
los números han de ser también iguales).
De esta forma, la ecuación dada se debe expresar en la forma log a M = log a N , pues de esta ecuación se pasa a la
ecuación algebraica M = N, que se resuelve como ya sabemos.
Resolvamos las siguientes ecuaciones logarítmicas.
• log x + log 20 =3
Logaritmo de un producto:

log 20x = 3

Como log 1.000 = 3, escribimos la ecuación así:

log 20x = log 1.000

Por la igualdad de logaritmos:

20x = 1.000

Resolvemos esta ecuación algebraica:

x = 1.000/20 ⇒ x = 50

Observa que, también, la ecuación log 20x = 3 se puede resolver directamente aplicando la definición de logaritmo:
log 20x = 3 ⇔ 20x = 103 ⇔ 20x = 1.000 ⇔ x =1.000/20 ⇔ x = 50
• 2 log x = log (4x + 12)
Logaritmo de una potencia:

log x2 = log (4x + 12)

Por la igualdad de logaritmos:

x2 = 4 x + 1 2

Resolvemos esta ecuación de 2º grado:

x2 − 4 x − 1 2 = 0 ⇒ x = 6 , x = − 2

Atención:

Al resolver una ecuación logarítmica pueden aparecer soluciones no válidas como sucede en el ejemplo anterior. La raíz x = −2 no es válida ya que log (−2)no existe (recuerda que en la definición de logaritmo de un número N se exigía N > 0). Por lo tanto, la única solución válida es x = 6.

• log x3 = log 6 + 2 log x
Logaritmo de una potencia:

3 log x = log 6 + 2 log x

Pasamos la incógnita al primer miembro:

3 log x − 2 log x = log 6

Operamos:

log x = log 6

Por la igualdad de logaritmos:

x=6

Matemáticas 4o ESO (Opción B)Ecuaciones logarítmicas y exponenciales

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• 2 log x − log (x − 16) = 2
Logaritmo de una potencia:

log x2 − log (x − 16) = 2

Como log 100 = 2, escribimos la ecuación así:

log x2 − log (x − 16) = log 100

Logaritmo de un cociente:

log

x2
= log 100
x − 16

Operamos:

x2
= 100
x − 16
x2 = 100(x − 16) ⇒ x2 = 100x −1.600 ⇒ x2 − 100x + 1.600 = 0

Se resuelve esta ecuación algebraica:

x = 20, x = 80

Por la igualdad de logaritmos:

Nuevamente, esta ecuación también se podría haber resuelto aplicando la definición de logaritmo:
log x2 − log (x − 16) = 2 ⇔ log

x2
x2
= 10 2 = 100
=2 ⇔
x − 16
x − 16

EJERCICIOS
1. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.
a) log 3 x = 4
b) log 2 x =−1
e) log 5 x + log 5 30 = 3
f) log x = 1 + log (22 − x)

c) 3 log x = 3
g) log x2 − log x = 3

2. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.
a) log (2x2 + 3) = log (x2 + 5x − 3)
b) 2 log x = log (5x − 6)
d) 4 log x = 2 log x + log 4 + 2

e) 2 log x3 = log 8 + 3 log x

d) log x2 = −10
h) log x + log 30 = 4

c) log (x2 + 5) = log (7x − 1)
f)

log (16 − x 2 )
=2
log (3x − 4)3. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.
10
x
a) log = 2 − 2 log x
b) log = 1 + log (21 − x)
2
x
37 

d) log (2x − 3) + log (3x − 2) = 2 − log 25
c) log (10 − x) − 1 = log  2 x − 
5


2. SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Un sistema de ecuaciones logarítmicas es un sistema de ecuaciones en el que una al menos de las ecuaciones es logarítmica.
Para resolver unsistema de ecuaciones logarítmicas se aplican los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones
lineales y las ecuaciones logarítmicas.
• Primer método: aplicar los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

log x + log y = 3
Resolvamos el sistema de ecuaciones logarítmicas 
2 log x − 2 log y = −2
a) Dividimos la 2ª ecuación por 2, obteniendo:

log x + log y = 3...