Ecuaciones Logaritmicas

MATEMÁTICAS

TIMONMATE

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES

Juan Jesús Pascual

ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES
A. Introducción teórica
B. Ejercicios resueltos

A. INTRODUCCIÓN TEÓRICA

A.1 Ecuaciones Logarítmicas
En las ecuaciones exponenciales alguna de las incógnitas aparece
expresada bajo un logaritmo. Para que las incógnitas estén libres,aplicaremos las propiedades de los logaritmos de forma conveniente.
El juego que se sigue suele ser el siguiente: los números que aparecen
en la ecuación logarítmica se expresan como logaritmos y luego se
eliminan los logaritmos de la ecuación, quedando las incógnitas libres
para ser despejadas.
Ejemplo: log 10 ( x − 2 ) = 2
Solución:
Expresamos el 2 como un logaritmo:
2 = 2 log 10 10 =log 10 10 2
Entonces: log 10 ( x − 2 ) = log 10 100
Como tenemos logaritmos en ambos miembros de la
ecuación, simplificamos y resolvemos:
log 10 ( x − 2 ) = log 10 100 ⇒ x − 2 = 100 ⇒ x = 102
A.2. Ecuaciones exponenciales
En las ecuaciones exponenciales alguna de las incógnitas es el
exponente en una potencia. Para quitar la incógnita de un exponente se
usan a veces las propiedadeslogarítmicas. En otras ocasiones es útil
expresar todos los términos en forma de potencia con la misma base.
Puede ser útil, en ocasiones recurrir a un cambio de variable para poder
simplificar la ecuación a resolver. Hay ecuaciones en las que tendremos
que aplicar todos estos recursos.

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Ecuaciones logarítmicas y exponenciales resueltas

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Ejemplo: 7 x − 1 = 49
Solución:Expresamos el 49 en forma de potencia 49 = 7 2
Entonces: 7 x − 1 = 7 2
De aquí es inmediato que:
7 x−1 = 7 2 ⇒ x − 1 = 2 ⇒ x = 3

B. Ejercicios resueltos

1. log 2 x = 8
Solución:
Módo de resolución 1:
-

Aplicamos simplemente la definición de logaritmo:
log 2 x = 8 ⇒ x = 2 8

Modo de resolución 2:
- Intentamos reescribir el miembro de la derecha en función de un
logaritmo y luego locancelamos con el logaritmo del término de la
izquierda.
- El miembro de la derecha se reescribe como sigue:
3

8 = 2 3 = 2 3 log 2 2 = log 2 2 2 = log 2 2 8
- Finalmente igualamos ambos miembros y simplificamos:

log 2 x = log 2 2 8 ⇒ log 2 x = log 2 2 8 ⇒ x = 2 8

2. log 5 x = −1
Solución:

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Ecuaciones logarítmicas y exponenciales resueltas

Aplicamos ladefinición de logaritmo: log 5 x = −1 ⇒ x = 5−1 =

1
5

3. log 3 log 5 x = −1
Solución:
Aplicamos la definición de logaritmo: log 5 x = 3−1 ⇒ log 5 x =

1
3

Volvemos a aplicar la definición de logaritmo:
1
1
log 5 x = ⇒ x = 5 3 =
3

3

5

4. log (x + 6) − log (2x − 1) = 0
Solución:
En esta ecuación logarítmica los logaritmos se van de forma inmediata:
log (x + 6) − log (2x − 1) =0 ⇒ log (x + 6) = log (2x − 1) ⇒ x + 6 = 2x − 1
Ahora simplemente despejamos x:
x + 6 = 2x − 1 ⇒ x = 7

5. log 3 (x + 2) + log 3 (x − 4) = 3
Solución:
Debemos expresar el número 3 en forma de logaritmo, con el fin de tener
logaritmos en ambos miembros.
3 = 3 log 3 3 ⇒ 3 = log 3 33
Entonces:
log 3 (x + 2) + log 3 (x − 4) = log 3 3 3
El primer miembro de la ecuación puede escribirse enfunción de un solo
logaritmo:
log 3 (x + 2) + log 3 (x − 4) = log 3 ( x + 2)(x − 4)

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Ecuaciones logarítmicas y exponenciales resueltas

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Teniendo esto en cuenta, la ecuación logarítmica a resolver es:
log 3 (x + 2)(x − 4) = log 3 33
Simplificando:
log 3 (x + 2)(x − 4) = log 3 33 ⇒ log 3 (x + 2)( x − 4) = log 3 33 ⇒

⇒ (x + 2)(x − 4) = 27 ⇒ x 2 − 2x − 35 = 0
Lassoluciones de esta ecuación de segundo grado son:

x 2 − 2x − 35 = 0 ⇒ x =


2 ± 4 + 140  x 1 = 7
=

x = −5 (no verifica la ecuación)
2
2


x2
6. 3 log x − log 30 = log
5
Solución:
3 log x − log 30 = log

x2
x2
x3
x2
⇒ log x 3 − log 30 = log ⇒ log
= log
⇒
5
5
30
5

x3 x2
=
⇒ x 3 − 6x 2 = 0 ⇒
30
5
x 1 = 0; x 2 = 0 (no verifican la ecuación)

⇒ x 2 ( x −...