Ecuaciones No Lineales En IQ MSA

MATEMÁTICA SUPERIOR APLICADA
Solución Numérica de Ecuaciones No
Lineales en Ingeniería Química

Universidad Tecnológica Nacional – Facultad Regional Rosario
Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz

Ecuaciones No Lineales (I)






Antes de plantear la resolución de Sistemas de Ecuaciones
No Lineales, resulta conveniente efectuar un breve repaso
de los métodos de resolución de ecuaciones algebraicasno
lineales (polinomios) y trascendentes.
La determinación de las raíces de una ecuación algebraica
no lineal (polinomio) es uno de los problemas más antiguos
de las matemáticas que se presentan con frecuencia en la
resolución de problemas reales.
Existe una gran variedad de métodos de resolución que
prueban la larga historia en el análisis de este problema y
de su importancia hasta la actualidad.30/10/2013

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Ecuaciones No Lineales (II)
 Estos métodos se diferencian por la necesidad de:
 Obtener todas las raíces de una ecuación o únicamente
algunas de ellas.
 Determinar todas las raíces reales o complejas, simples o
múltiples.
 De disponer de una 1era. aproximación para c/u de ellas.

 Disponiéndose enla actualidad de computadoras
digitales, resulta conveniente utilizar los métodos más
apropiados para obtenerlas.

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Solución Numérica de Ecuaciones
Algebraicas y Trascendentes de una Variable




Sea un a función cualquiera de una variable que
llamamos f(x).
Se trata de encontrar un valor x* para elque se cumpla
f(x*) = 0. Si existe ese valor, se denomina raíz de la
ecuación.
Pasos Básicos:
1)
2)

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Determinación de un valor aproximado de la raíz (valor de
arranque de método).
Mejoramiento de la solución hasta un grado de precisión
establecido.

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Paso 1: Se resuelve bajo consideraciones físicas delproblema que se estudia o graficando la función y
determinando dos valores de la variable independiente
para los que la función cambia de signo.
Por ejemplo: Si para dos valores x- y x+ se tiene:
f(x-) < 0 y f(x+) > 0
f(x) es una función continua en el intervalo (x-, x+) se
puede asegurar que existe x*  (x-, x+); entonces
podemos elegir como valor de arranque: x0 = (x-+ x+)/2

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Bisección
f (b )

No

f ( x  ) f ( x1 )  0?
f ( x  ) f ( x2 )  0 ?

Si

y  f ( x)

x   x1
x   x2
f ( x1 )

a

x2
x* x1

b

x

f ( x2 )
f (a)
x  a

x  a

x1

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x   x1

x2
x   x2

x  b

x3

x   x1

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Determinación de las Raíces de la Ecuación
f(x) = x – 4 * sen(x) = 0

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x

4 senxf(x) = x- 4 senx

-3/2

4

-8.7124

-5/4

2.8284

-6.7554

-

0

-3.1416

-3/4

-2.8284

0.4722

-/2

-4

2.4292

-/4

-2.8284

2.0430

0

0

0

/4

2.8284

-2.0430

/2

4

-2.4292

3/4

2.8284

-0.4722



0

3.1416

5/4

-2.8284

6.7554

3/2

-4

8.7124

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

Cambio
de
signo



Cambio
de
signo

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Búsquedade las Raíces

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 Luego, existe una raíz en el intervalo (3/4, ).
 Entonces podemos elegir como primera aproximación a la
solución el valor:
x   x  2.3562  3.1416
x0 

 2.5
2
2

 Esto es, x0 = 2.5 puede considerarse un valor aproximado de
x*.
 Análogamente existe otra raíz en (-, -3/4) y unvalor
aproximado de esta raíz es:
x   x  3.1416  2.3562
x0 

 2.5
2
2

 Existe una tercer raíz en x = 0 cuya determinación resulta
obvia.

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Paso 2: Mejorar la solución mediante la simple repetición del
método o mediante la implementación de un método más refinado
hasta lograr el grado de...