Ecuaciones Paramétricas Y Coordenadas Polares

Ecuaciones Paramétricas y Coordenadas Polares
Introducción


Sistema de coordenadas, sistema de identificación de elementos en un conjunto de puntos marcándolos con números. Estos números se denominan coordenadas y se puede considerar que dan la posición de un punto dentro del conjunto. El sistema de latitud y longitud es un ejemplo de sistema de coordenadas que utiliza éstas paraespecificar la posición de un punto en la superficie de la Tierra.











































Marco teórico


Curvas definidas por ecuaciones paramétricas
Imaginemos que una partícula se mueve a lo largo de la curva c mostrada en la figura.
Es imposible describir c mediante una ecuación de la forma y= f(x) porque c no pasa la pruebade la línea vertical. Pero la abscisa x y la ordenada y de la partícula son funciones del tiempo y podemos escribir x = f(t) y y = g(t). Un par de ecuaciones como éstas son convenientes para describir una curva y dan origen a la definición siguiente.













Supongamos que x y y se definen como funciones de una tercera variable, t, llamada parámetro, mediante lasecuaciones
x = f (t) y = g (t)
que se denominan ecuaciones paramétricas. Cada valor de t determina un punto (x, y), que podemos graficar en un plano de coordenadas. Al variar t, el punto (x, y) = (f(t), g(t)) cambia de posición y describe una curva c que llamamos una curva paramétrica. El parámetro t no necesariamente representa el tiempo y, de hecho, podríamos usar otraletra distinta de t para simbolizar el parámetro. Pero en numerosas aplicaciones de las curvas paramétricas, t denota al tiempo y, por consiguiente, podemos interpretar (x, y) = (f(t), g(t)) como posición de una partícula en el instante t.









Sistema de coordenadas, sistema de identificación de elementos en un conjunto de puntos marcándolos con números. Estos números se denominancoordenadas y se puede considerar que dan la posición de un punto dentro del conjunto. El sistema de latitud y longitud es un ejemplo de sistema de coordenadas que utiliza éstas para especificar la posición de un punto en la superficie de la Tierra.


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Las coordenadas cartesianas son unas de las coordenadas más usadas. En dos dimensiones, están formadas por un par de rectas en unasuperficie plana, o plano, que se cortan en ángulo recto. Cada una de las rectas se denomina eje y el punto de intersección de los ejes se llama origen. Los ejes se dibujan habitualmente como la horizontal y la vertical, y normalmente se les denomina x e y respectivamente. En coordenadas cartesianas, un punto del plano cuyas coordenadas son (2,3) está situado dos unidades hacia la derecha del eje yy tres unidades por encima del eje x, como se muestra en la figura 1. En coordenadas cartesianas de tres dimensiones, se añade el eje z de manera que tenemos tres ejes todos ellos perpendiculares entre sí.


En coordenadas polares, a cada punto del plano se le asignan las coordenadas (r,θ) con respecto a una recta fija en el plano denominada eje polar y a un punto de dicha línea llamadopolo. Para un punto cualquiera del plano, la coordenada r es la distancia del punto al polo, y la θ es el ángulo (medido en sentido contrario a las agujas del reloj) entre el eje polar y la línea que une el polo y el punto, como se muestra en la figura 2. Por ejemplo, el punto con coordenadas polares (1,p/2) está situado a una unidad del polo y forma un ángulo de p/2 radianes, o 90 grados, con el eje.Las coordenadas cilíndricas y las coordenadas esféricas son dos extensiones distintas de las coordenadas polares en tres dimensiones.


Normalmente las coordenadas de un punto o conjunto de puntos en un sistema de coordenadas pueden ser transformadas a otro sistema de coordenadas. Por ejemplo, si el eje polar y el polo de las coordenadas polares se corresponden con el eje x y el origen de...