ecuaciones parametricas de la cicloide

Ecuaciones paramétricas de la cicloide.
No es muy difícil obtener unas ecuaciones paramétricas que representen la cicloide. Para que las cosas resulten sencillas conviene considerar que el círculo rueda hacia la derecha sobre el eje x y que el punto que sirve para trazar la cicloide está situado inicialmente en el origen de las coordenadas, tal como sucede en el programa de animación anterior(Programa 1). En la figura de la derecha (Figura 2) se ha representado la situación que se produce un poco después de que el círculo ha empezado a rodar. Lo más natural es escoger como parámetro la medida t en radianes del ángulo , pues ésta corresponde al ángulo de rotación del círculo. Así que nuestro problema se reduce a expresar las coordenadas  del punto P en función de t o, dicho de otromodo, hallar una función de trayectoria  tal que .
La observación crucial que hay que hacer al respecto es que la medida del segmento de recta OR, en azul en la Figura 2, es igual a la medida del arco PR, también en azul, puesto que el círculo rueda sin resbalarse. Ahora bien, la medida del arco PR es bt, de manera que tenemos:

Ahora bien,   y  , con lo llegamos a las ecuaciones buscadas:

Hayalgo que explicar en esta parametrización. Si se mira bien, estas ecuaciones pueden verse como el resultado de sumar dos pametrizaciones distintas, pues el punto  puede ponerse en la forma:

 

Figura 2: Parametrización de la cicloide.
 

Figura 3: La cicloide puede verse como la suma de dos trayectorias.
 
Es decir que  donde  y . El primer término de esta suma es . Aparece representadoen verde en la Figura 3 y corresponde a la trayectoria de un punto que se mueve hacia la derecha a lo largo de la recta horizontal , comenzando en el punto  para cuando . Por cada unidad de t el punto se mueve  hacia la derecha. Por otro lado, el segundo término de la suma es . Aparece en azul en la Figura 3 y corresponde a la trayectoria que sigue un punto que se mueve en una circunferencia concentro en  y radio b en el sentido de las manecillas del reloj empezando en el punto , para cuando . Al sumarse estas dos trayectorias, el resultado es que el punto va girando en el sentido de las manecillas del reloj mientras el centro de la circunferencia se mueve horizontalmente en la recta horizontal y estos dos movimientos combinados van produciendo la cicloide. En la gráfica siguiente (Figura4) se han anotado algunos de los puntos por los que pasa la cicloide y junto a ellos, en rojo, el valor del parámetro t que les corresponde.
 

Figura 4: Sobre la gráfica de la cicloide se muestran en rojo algunos valores
del parámetro t y en negro los puntos que les corresponden.
 
Propiedades de la cicloide.
Examinemos en primer lugar las tangentes de la cicloide. Para esto calculemosque es una función de t. En la Figura 5 aparece en color rojo la gráfica de esta función junto con la cicloide que se ha sobrepuesto en azul. Es claro que las tangente son horizontales cuando , esto es, cuando  y , lo que ocurre en todos los valores de t de la forma  para . Esto se muestra en la Figura 6 mediante unos segmentos de tangente dibujados en azul. 
Por otro lado, el denominador para todo  (  ) y en estos valores de t el numerador . Por lo tanto la cicloide no es diferenciable en los puntos de la forma  con . Sin embargo, en la Gráfica 5 se ve que
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Esto significa que las tangentes a la cicloide en los puntos  (  ) son verticales como lo muestran los segmentos dibujados en azul en la Figura 6. Estos límites sepueden calcular con la regla de L’Hôpital así:

 
Pasemos ahora a calcular el área bajo un arco de la cicloide. Es claro que el primer arco de la cicloide se produce cuando los valores de t están entre 0 y , puesto que la rueda necesita dar una vuelta completa para trazarlo (Figura 7). Así pues, el área bajo un arco de la cicloide está dada por:

Es interesante este resultado pues nos dice...