ecuaciones parametricas

ECUACIONES PARAMÉTRICAS
CONTENIDO
1. De la elipse
2. De la circunferencia
3. De la parábola
4. De la hipérbola
5. Ejercicios
6. Trazado de una curva dadas sus ecuaciones paramétricas
Hemos visto, que si un lugar geométrico tiene una representación analítica, la cual es una sola ecuación que contiene dos variables. Ahora veremos la representaciónanalítica de una curva utilizando dos ecuaciones, que se llaman ecuaciones paramétricas de la curva.
Reciben este nombre aquellas ecuaciones en que las variables x y y, cada una separadamente, están expresadas en función de la misma tercera variable. Según esto, designando por la letra z la tercera variable, comúnmente llamada variable paramétrica, estas ecuaciones se representanen la siguiente forma general:
x = F (z)
y = F (z)
Es muy importante aclarar que cada dos ecuaciones paramétricas representan una sola curva perfectamente referida a un sistema de ejes cartesianos, como se puede ver en el siguiente ejemplo:
1. De la elipse
EJEMPLO. Un segmento de recta de
10 cm de longitud se mueve apoyando sus extremos en los ejes de coordenadas. Determinar ellugar geométrico descrito por un punto P(x, y) situado sobre el
segmento A B
a 4 cm del
extremo que se apoya
sobre el eje de las x, como se muestra en la figura adjunta:
SOLUCIÓN
Observando la figura anterior se tienen las funciones trigonométricas:
x cos φ =
6
y
y sen φ =
4
Por tanto despejando:
x = 6 cos φ
y = 4 sen φ
Estas son las ecuaciones paramétricas del lugargeométrico descrito, pero necesitamos transformarlas para que podamos identificar, e incluso, para que podamos darnos cuenta de que las dos ecuaciones paramétricas representan una sola curva.
Elevando al cuadrado las dos ecuaciones anteriores:
x 2
= cos2 φ
36
y 2
2
= sen φ
16
Sumando miembro a miembro:
2 2
x + y =
sen2

φ + cos2 φ
36 16
Pero se sabe que: sen2 φ+ cos2 φ = 1
Sustituyendo tenemos:
2 2
x + y = 1
36 16
Por el resultado obtenido, vemos que el lugar geométrico descrito por P es una elipse horizontal, con centro en el origen, cuyos semiejes miden 6 y 4.
Este problema nos hace ver que toda elipse como la que acabamos de ver con semiejes a
y b, esta representada por las siguientes ecuaciones paramétricas:
x = a cos φ......................................................................................................................... I
y = b sen φ ......................................................................................................................... I’
Si la elipse es vertical con centro en el origen, sus ecuaciones paramétricas son:
x = b cos φ......................................................................................................................... II
y = a sen φ ........................................................................................................................ II’
2. De la circunferencia:
Para el caso de una circunferencia de radio a y parámetro , también con centro en el origen. Si P(x, y) es un punto cualquiera de la curva, lasecuaciones paramétricas de acuerdo a la figura adjunta son:
Considerando a P un punto cualquiera de la curva y a como el radio de la circunferencia.
De la figura se tiene:
y sen φ =
a
x cos φ =
a
Despejando tendremos las ecuaciones paramétricas:
y = a sen φ
x = a cos φ
.......................................................................................................................III
...................................................................................................................... III’
En este caso observamos que el coeficiente a es el mismo, puesto que representa el radio
de la circunferencia.
3. De la parábola
Se sabe que para este tipo de curva la ecuación es:
y2  2px
(1)
La cual es la ecuación de una parábola horizontal con vértice...