Ecuaciones paramétricas

2.2 ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE ALGUNAS CURVAS Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA
En la siguiente investigación se estudiarán situaciones en las que se emplean tres variables para representar una curva en el plano.
Considérese la trayectoria que recorre un objeto lanzado al aire con un ángulo de 45°. Si la velocidad inicial del objeto es 48 pies por segundo, el objeto recorre la trayectoria parabólicadada por:
y= -x272+ x Ecuación rectangular.
Ecuación paramétrica para x

Sin embargo, esta ecuación no proporciona toda la información. Si bien dice dónde se encuentra el objeto, no dice cuando se encuentra en un punto dado x, y. para determinar este instante, se introduce una tercera variable t, conocida como parámetro. Expresando x y y como funciones de t, se obtienen las ecuacionesparamétricas
x=24 2 t
Ecuación paramétrica para y.

Y
y=16t2+ 242 t.
A partir de este conjunto de ecuaciones, se puede determinar que en el instante t=0, el objeto se encuentra en el punto 0, 0. De manera semejante, en el instante t=1, el objeto está en el punto 242, 242- 16, y así sucesivamente.
En este problema particular de movimiento, x y y son funcionescontinuas de t, y a la trayectoria resultante se le conoce como curva plana.

Movimiento curvilíneo: dos variables de posición y una de tiempo

Ecuación rectangular
y=-x272+ x
242, 242-16

Ecuaciones paramétricas
x=242t
y=-16t2

t=1

Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo I, entonces a las ecuaciones x=ft y y=gt
Se les llama ecuaciones paramétricas y a t se le llama elparámetro. Al conjunto de puntos x, y que se obtiene cuando t varía sobre el intervalo I, se le llama la grafica de las ecuaciones paramétricas. A las ecuaciones paramétricas y a la grafica, juntas, es a lo que se llama una curva plana, que se denota por C.

Cuando se dibuja (a mano) una curva dada por un conjunto de ecuaciones paramétricas, se trazan puntos en el plano xy. cada conjunto decoordenadas x, y está determinado por un valor elegido para el parámetro t. Al trazar los puntos resultantes de valores crecientes de t, la curva se va trazando en una dirección específica. A esto se le llama la orientación de la curva.
EJEMPLO 1 Trazado de una curva
Trazar la curva dada por las ecuaciones paramétricas
x=t2-4 y y=t2, -2≤t≤3.
Solución. Para valores de t en el intervalo dado, seobtienen, a partir de las ecuaciones paramétricas, los puntosx, y que se muestran en la tabla.

t | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
x | 0 | -3 | -4 | -3 | 0 | 5 |
y | -1 | -12 | 0 | 12 | 1 | 32 |


Al trazar estos puntos en orden de valores crecientes de t y usando la continuidad de f y de g se obtiene la curva C que se muestra en la figura. Las flechas sobre la curva indican suorientación conforme t aumenta de -2 a 3.
Nota: De acuerdo con el criterio de la recta vertical, puede verse que la gráfica mostrada en la figura no define y en función de x. Esto pone de manifiesto una ventaja de las ecuaciones paramétricas: pueden emplearse para representar gráficas más generales que las gráficas de funciones.



ELIMINACIÓN DEL PARÁMETRO
A encontrar la ecuación rectangularque representa la gráfica de un conjunto de ecuaciones paramétricas se le llama eliminación de parámetro. Por ejemplo, el parámetro del conjunto de ecuaciones paramétricas del ejemplo 1 se puede eliminar como sigue.
t=2y
x=4y2- 4
x=2y2- 4
y= t2
x= t2- 4

Una vez eliminado el parámetro, se ve que la ecuación x=4y2- 4 representa una parábola con un eje horizontal y vértice en -4, 0.
Elrango de x y y implicado por las ecuaciones paramétricas puede alterarse al pasar a la forma rectangular. En esos casos, el dominio de la ecuación rectangular debe ajustarse de manera que su gráfica coincida con la gráfica de las ecuaciones paramétricas.
EJEMPLO 2 Ajustar el dominio después de la eliminación del parámetro
Dibujar la curva representada por las ecuaciones
x= 1 t+1 y y=...