Ecuaciones Parciales Y Ordinarias

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Una ecuación diferencial parcial para una función ux,y,…con derivadas parciales Ux,Uy,Uxx,Uxy,Uyy,… es una relación de la formaF(x,y,…, Ux,Uy,Uxx,Uxy,Uyy,…)= 0 (1)
donde F es una función de las variables x,y,…U,Ux,Uy,Uxx,Uxy,Uyy,…
donde solamente ocurrirán un número finito dederivadas.
Una función ux,y,…es solución de (1), si en alguna región del espacio de sus variables independientes, la función y sus derivadas satisfacen la ecuación idénticamente en x,y…Se puede también considerar un sistema de ecuaciones diferenciales parciales; en este caso se consideran varias expresiones como las de arriba conteniendo una o más incógnitas y sus derivadasparciales.
Como en la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias una ecuación diferencial parcial es de orden n, si las derivadas de mayor orden que ocurren en J son de orden n.Las ecuaciones diferenciales parciales se clasifican también según el tipo de función F considerada. En particular tenemos la ecuación diferencial parcial lineal si F es lineal en la función incógnitay sus derivadas, y la ecuación diferencial parcial casi-lineal que es más general, si F es lineal en al menos una de las derivadas de más alto orden. Las ecuaciones diferenciales parciales ocurrenfrecuentemente y en forma enteramente natural en problemas de varias ramas de la matemática, como se presenta en los siguientes ejemplos.
EJEMPLO 1. Una condición necesaria y suficientepara que una forma
diferencial
Mx,ydx+N x,ydy
sea una diferencial exacta, es que cumpla la condición de integrabilidad siguiente
∂M∂y∂N=∂x
Esta se puede considerar como una ecuacióndiferencial parcial en las variables desconocidas M Y N , cuya solución general esta dada por

M= ∂ϕ∂X, N=∂ϕ∂y

donde ϕ es una función arbitraria.

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