ecuaciones parciales

Universidad Veracruzana
Facultad de Ingenier´ 1
ıa.
Segundo Examen Parcial de Ecuaciones Diferenciales.
Nombre:

Grupo:

Conteste la m´xima cantidad de ejercicios, procure escribir de lamanera mas clara posible, adem´s
a
a
de que todas las respuestas deber´n de ir completamente justificadas.
a
1. Un caso de din´mica poblacional est´ dado por la ecuaci´n:
a
a
o
dP
= P (a − bP )dt
a esta ecuaci´n se le denomina ecuaci´n log´
o
o
ıstica. Encuentre la soluci´n.
o
2. Compruebe que y = senh(x)−2 cos(x+π/6) es una soluci´n de y (4) −y = 0. Resuelva la ecuaci´n
o
odiferencial y diga si tiene sentido la forma de y.
3. Las ra´
ıces de una ecuaci´n cubica auxiliar (parte homog´nea) son m1 = 4 y m2 = m3 = −5,
o
e
¿cual es la ecuaci´n diferencial lineal homog´neacorrespondiente?
o
e
4. Encuentre la soluci´n por reducci´n de orden:
o
o
x2 y ′′ − 3xy ′ + 5y = 0

y1 = x2 cos(ln x).

5. Encuentre la soluci´n de
o
y ′′ + 4y = −2

1
π
π
sujeto a y( )= , y ′( ) = 2.
8
2
8

6. Determine la soluci´n general de y ′′′ + 6y ′′ + y ′ − 34y = 0 si se sabe que y1 = e−4x sen x es una
o
soluci´n.
o
7. Resolver

1
x2 y ′′ + xy ′ + (x2 − )y = x3/2y1 = x−1/2 cos x y2 = x−1/2 sen x
4
8. Temperatura en una esfera. Considera dos esferas concentricas de radio r = a y r = b, a < b.
Vease la figura. La temperatura u(r) en la regi´n entre las dosesferas se determina del problema:
o
d2 u
du
r 2 +2
=0
u(a) = u0
dr
dr
donde u0 y u1 son constantes. Determine el valor de u(r)

u(b) = u1

9. Bajo algunas circunstancias, cuando dosresortes paralelos, con constantes k1 y k2 soportan una
s´la masa, la constante de resorte efectiva del sistema se expresa como k = 4k1 k2 /(k1 + k2 ). Una
o
masa que pesa 20 libras estira 6 pulgadas unresorte y 2 pulgadas otro resorte. Los resortes se
unen a un soporte r´
ıgido com´ n y luego a una placa met´lica. Como se muestra en la figura, la
u
a
masa se une al centro de la placa en la...