ecuaciones racionales

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

SOBRE ECUACIONES RACIONALES


¿Qué son las ecuaciones racionales?

Ecuaciones donde hay alguna x (o la incógnita) en algún denominador. Por ejemplo:



(¿y qué es una ecuación?)

Como en toda el ecuación, el objetivo es encontrar el o los valores de x que verifican la igualdad. Es decir, despejar la x (o la letra que tenga como incógnita) parallegar a un resultado que diga: "x = algo". "Que verifican la igualdad" significa que, si reemplazamos a todas las x del ejercicio con el número que nos dió como solución, y hacemos las operaciones entre los números, tenemos que llegar a una igualdad verdadera (3 = 3 por ejemplo).


¿Cómo se resuelven las ecuaciones racionales?

Hay varias formas de hacerlo, y a veces una u otra conviene másdependiendo de la forma del ejercicio:

1) Buscando el denominador común entre todos los denominadores de las fracciones que aparecen en ambos miembros de la ecuación (¿qué es un miembro?). Y luego de transformados los numeradores (como se hace en la suma de fracciones), los denominadores se pueden cancelar.

2) Pasando todos los términos de un lado, y que del otro quede 0 ("igualar a cero").Luego se busca denominador común, se transforman los numeradores como en la suma de fracciones, y se puede cancelar el denominador común.

3) Buscar denominador común entre las fracciones de un miembro, y luego pasar ese denominador común multiplicando al otro miembro (ya que el denominador es algo que está dividiendo, en una ecuación se lo puede pasar multiplicando).

4) Si es una proporción(igualdad de dos fracciones), se puede usar la Propiedad fundamental de las proporciones ("El producto de los medios es igual al producto de los extremos", o "Igualar los productos cruzados"). Pero si no es una proporción, también se puede buscar denominador común en cada término para que lo sea, y luego aplicar la propiedad.

En la EXPLICACIÓN de los EJEMPLOS mostraré cómo se los puede resolver deotra forma, y explicaré más sobre ellas y su fundamento. Y también se verá para qué forma de ejercicio es recomendable cada procedimiento, aunque eso no quiere decir que haya que saberlos a todos. Simplemente es para quienes tengan interés en conocerlos.


¿Qué es la Condición de Existencia (C.E.)?

El denominador de una fracción no puede ser 0 (cero), porque el denominador de una fracciónestá dividiendo al numerador, y dividir por cero no se puede. Entonces, en una ecuación racional, la solución no puede ser un número que haga que un denominador dé cero. Por ejemplo, en la siguiente ecuación:



(x + 5) debe ser desigual a cero. Y (x + 2) debe ser desigual a cero. Porque son los denominadores de las fracciones. Hallemos que números cumplen eso:

x + 5 = 0
x = -5

x + 2= 0x = -2

Eso quiere decir que la solución de esa ecuación no debe ser ni -5 ni -2. Porque esos números harían que un denominador sea igual a cero. Cuando se cancela el denominador y se resuelve la ecuación que quedó en el numerador, puede pasar que la solución sea un número distinto de ésos, por ejemplo x = 1. El 1 sería solución de la ecuación, porque cumple la Condición de Existencia: no esni el -5, ni el -2. El 1 no va a hacer que ningún denominador dé cero. Probemos reemplazando la x por 1 (así se verifica la solución de una ecuación):







4

3



Pero a veces, la solución que nos dá la ecuación del numerador, puede ser un número que no cumpla la Condición de existencia, por ejemplo podría habernos dado -5 ó -2. En ese caso, esa solución que encontramos no sirve,no es una solución válida, porque hace que un denominador sea igual a cero, y hay que quitarla del Conjunto solución.
Si una ecuación tiene dos soluciones (en el numerador queda una ecuación cuadrática), puede ser que una de ellas no cumpla la Condición de existencia y la otra sí. O ninguna de las dos la cumpla. O la cumplan las dos. En el EJEMPLO 6 se puede ver que la solución encontrada no...