Ecuaciones reducibles a homogeneas, reducibles a exactas y ecuacion de riccati

Reducibles a homogéneas.

Consideremos la ecuación

[pic]

Para resolverla, hay que distinguir dos casos:

1) Supongamos en primer lugar que las rectas

[pic] y [pic]

Secortan en el punto [pic]. Así, tendremos que

[pic]
[pic]

Hagamos ahora el cambio de variable y de función
[pic]
[pic]

Es decir, hemos reducido la ecuación a una homogénea.

2) supongamosen segundo lugar que

[pic] y [pic]

Son rectas paralelas, con lo cual podría ponerse [pic] para algún
K € R. Efectuemos ahora
el cambio de función z = ax+by. Derivando[pic] osea, [pic] . Sisustituimos en la E. D. original obtenemos que es de variables separadas.

[pic]

Reducibles a homogéneas.
Son de la forma
[pic]

1. Si las rectas se cortan [pic] y [pic]
en [pic] se hace elcambio de variable y de función,
[pic]
La ecuación se reduce a una homogénea.
2. Si [pic] y [pic] son rectas paralelas, se hace el cambio de función z = ax+by. La nueva ecuación que aparece es devariables separadas.

Reducibles a exactas: Factores integrantes.

Si tenemos una ecuación P(x; y) dx + Q(x; y) dy = 0 que no es exacta, una idea para intentar resolverla sería tratar de encontraralguna función (x; y) no idénticamente nula tal que (x; y) P(x, y) dx + (x; y) Q(x, y) dy = 0 sea exacta. Como esta ecuación es equivalente a la de partida, sus soluciones y las de
P(x; y) dx + Q(x;y) dy = 0 serán las mismas.
Desgraciadamente, no hay ningún procedimiento general que permita encontrar factores integrantes. Sin embargo, sí que es posible hacerlo, y de manera sencilla, en doscasos:
1.Existencia de factor integrante de la forma (x). Queremos que
(x) P(x, y) dx+(x) Q(x, y) dy = 0
sea exacta, esto es,

[pic]

Derivando, [pic] ósea,
[pic]
Para que esto tenga sentido,[pic]
Tiene que resultar ser una función que dependa exclusivamente de x, que denotamos h(x). Cuando éste es el caso, es claro que la función que satisface la relación anterior es
[pic]
con...