ecuaciones segundo grado

Ecuaciones de segundo grado y una incógnita.

Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras.

Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita,

que suele ser la x.

Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la

incógnita, haga que sea cierta la igualdad.

Ese valor es lasolución de la ecuación.

Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0

El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1

es la solución de la ecuación.

Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación

de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan

porque pueden tener dossoluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).

Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente

ax2

Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que

corresponda en cada caso particular.

Ejemplos de Ecuaciones de Segundo Grado o Cuadráticas

+ 5x - 6 = 0 a = 1 ; b = 5 ; c = - 6

+ bx + c = 0

4)– 9x2

- 4x + 7 = 0 a = 3 ; b = - 4 ; c = 7

+ 6x = 0 a= 7 ; b = 6 ; c = 0

- 18 = 0 a= - 9 ; b = 0 , c = -18

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LICEO MINERO AMÉRICA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Ejercicio:

Identifica los coeficientes reales de las siguientes ecuaciones cuadráticas.

+ 8x + 36 =0 a = ; b = ; c =

- 12 x = 0 a = ; b = ; c =

3) 5x - 7x2

4) 6x = - 6x - 9 a = ; b = ; c =

- 8 =0 a = ; b = ; c =

- 12x + 0,765 = 0 a = ; b = ; c =

Tipos de Ecuaciones Cuadráticas

Las ecuaciones de segundo grado con una incógnita se pueden clasificar en :

1) Ecuación Completa General, que tienen la forma 0

Ejemplo: 5 12 7 0

2) Ecuación Completa Particular, que tienen la forma 0

ax +bx+c= con a

2

x − x + =

Ejemplo: 12 7 0

3) Ecuación IncompletaBinomia, que tienen la forma 0

2

x − x + =

Ejemplo: 2 8 0

2

x + x =

4) Ecuación Incompleta Pura, que tienen la forma 0

Ejemplo: 16 0

2

x + c =

2

x − =

Soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado.

Toda ecuación de segundo grado con una incógnita tiene dos soluciones o raíces ,

que denotaremos por x1 y x2 , las que pueden ser iguales o distintas entresí.

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Para resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita se deben buscar los

valores de x que satisfacen la igualdad:

+ bx + c = 0

ax2

Para ello existen los siguientes métodos:

Factorización:

Este método consiste en factorizar la expresión , igualar a cero cada uno de los

factores , para luego despejarel valor de x en cada uno de ellos. Es conveniente

comprobar que efectivamente los valores encontrados son soluciones de la ecuación,

usamos el método del reemplazo( valorización de expresiones algebraicas).

Ejemplos:

Factorizando se obtiene :

(x + 5) (x + 2) = 0

Igualando a cero los factores , tenemos:

x+ 5 = 0 o x + 2 = 0

x = - 5 o x = - 2

Por lo tanto

x1 =- 5 y x2 = - 2

Verificando que las soluciones obtenidas , sean las correctas

Reemplazamos x1 = - 5 en x2

Obteniendo :

( - 5) 2

25 - 35 + 10 = 0

+ 7x + 10 =0

+ 7x + 10 =0

+ 7 ( - 5) + 10 =0

0 = 0

Ahora reemplazamos x2 = - 2

Obteniendo :

( - 2) 2

4 - 14 + 10 = 0

Se cumplió la igualdad para ambos valores de x , por lo tanto son soluciones de la+ 7 ( - 2) + 10 =0

0 = 0

-6x - 27 =0

Factorizando se obtiene :

( x – 9) ( x + 3) = 0

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Igualando a cero los factores tenemos :

x – 9 = 0 o x + 3 = 0

x = 9 o x = - 3

Por lo tanto x1 = 9 y x2 = - 3

Ahora tú verifica que efectivamente son soluciones de la ecuación planteada.

Para ecuaciones...