Ecuaciones Segundo Orden

Respuesta a estímulo de sistemas de segundo orden Sea la ecuación diferencial de segundo orden: ; (1)

En respuesta temporal sin estímulo se plantean los parámetros fundamentales que definen su comportamiento: : Coeficiente de amortiguamiento. : Frecuencia natural no amortiguada. : Frecuencia natural amortiguada. : Constante de tiempo. (Si )
√

(2) √ √ (3) (4) (5) con condición inicial

Ala solución de la ecuación diferencial de segundo orden (1) ante un estímulo

,

se le denomina respuesta característica de sistemas de segundo orden.

I.- Respuesta a un escalón Caracteriza la respuesta del sistema (1) ante cambios súbitos a la entrada, de la forma:

{
La respuesta a un escalón se divide en dos regiones fundamentales: a.- Transitoria: El sistema responde en ella de formadinámica. b.- Estado estable: Cuando se asume que el sistema ha alcanzado su valor final:

(6)

(7) Los pasos para la solución de (1) ante el estímulo (6) son semejantes a los utilizados en la solución de sistemas de primer orden. A continuación se muestra la respuesta del sistema ante diferentes valores del coeficiente de amortiguamiento . w=2; % wn g=.5; % gamma % Condiciones inicialesx1(1)=0; x2(1)=0; dt=0.001; N=10; % Se define la función de transferencia num=[0 0 1]; for g=[0.1 0.5 1 2] den=[1 2*g*w w^2]; ys=tf(num,den); roots(den); %pole(ys) yt=step(ys,[0:dt:N]); %Se comprueba con Solución numérica (Euler) for i=1:1:N/dt x1(i+1) = x1(i) + dt*x2(i); x2(i+1) = x2(i) + dt*(-2*w*g*x2(i)-w^2*(x1(i))+1); end hold on plot([0:dt:N],yt,[0:dt:N],x1,'g') end xlabel('Tiempo t');ylabel('y(t)') title('Respuesta a un escalón'); Siendo las raíces de la ecuación característica: =0.1: -0.2000 + 1.9900i -0.2000 - 1.9900i =0.5: -1.0000 + 1.7321i -1.0000 - 1.7321i

=1: -2 -2 =2: -7.4641 -0.5359

Nótese a continuación el comportamiento oscilatorio cuando las raíces son complejas conjugadas, siendo el sobrepaso máximo y la oscilación mayor, mientras menor es . Adicionalmente, paravalores de no existe oscilación, siendo la respuesta para la que más rápidamente alcanza el estado estable. Existen aplicaciones donde se desea que se alcance el valor final lo más rápidamente posible, tolerándose cierta oscilación. Ello se alcanza con un valor ligeramente inferior a uno, siendo una selección generalmente aceptada.
Respuesta a un escalón 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25

�� �� 5

y(t)0.2 0.15 0.1 0.05 0

��

��

2

0

1

2

3

4

5 Tiempo t

6

7

8

9

10

Las especificaciones de la respuesta transitoria de un sistema de segundo orden (respuesta a un escalón unitario) se muestran a continuación

que se caracteriza por:

td : Tiempo de retardo (tiempo en alcanzar el 50% del valor final) tr : Tiempo de levantamiento (tiempo en ir del 10% al 90%del valor final) tp : Tiempo pico (tiempo en alcanzar el sobrepaso máximo) ts : Tiempo de asentamiento (tiempo en alcanzar 1%, 2% ó 5% del valor final)

Algunas de las ecuaciones que permiten caracterizar al sistema (1) son: Máximo porciento de sobrepaso (
√

): ; (8)

;

√

Tiempo pico ( ):
√

(9)

Tiempo de retardo ( ): (10) Estos parámetros ( y el resto que identifican larespuesta a un escalón de los sistemas de segundo orden) se pueden obtener directamente utilizando las funciones stepinfo, ltiview o step (estos dos últimos debe activar el botón derecho del ratón para obtener la información). w=2; g=.5; % Se define la función de transferencia num=[0 0 1]; den=[1 2*g*w w^2]; ys=tf(num,den); % Información sobre respuesta a un escalón yt=stepinfo(ys); ltiview(ys);step(ys) yt = RiseTime: 0.8201 SettlingTime: 4.0381 SettlingMin: 0.2322 SettlingMax: 0.2907 Overshoot: 16.2874 Undershoot: 0 Peak: 0.2907 PeakTime: 1.8361

Se puede relacionar la ubicación de los polos y la respuesta del sistema, como se muestra a continuación %Coeficientes constantes del sistema de segundo orden m=1; k=4; c=0.4; % Se define la función de transferencia num=[0 0 1]; den=[m c k];...