ecuaciones simultaneas

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA

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ECUACIONES SIMULTÁNEAS CON DOS INCÓGNITAS

CONCEPTO
Se dijo en la página 79 que se requieren tantas ecuaciones como incógnitas se tengan para que se
pueda resolver la ecuación o el sistema de ecuaciones.
Si se tiene, por ejemplo, la ecuación 3x + 11y - 1 = 0 , como tiene dos incógnitas no se puede resolver porque solamenteexiste una ecuación. Que no se pueda resolver significa que existen un número
infinito de soluciones en las que la incógnita x puede tomar, de hecho, todos los valores, solamente
hay que ajustar el de la incógnita y para que restándole 1 dé igual a cero.
Si x = 0 , basta ajustar a que y = 1/11 y la ecuación original resulta igual a cero.
Si x = 1 , basta ajustar a que y = - 2/11 y la ecuaciónoriginal resulta igual a cero.
Si x = 2 , basta ajustar a que y = - 5/11 y la ecuación original resulta igual a cero, etc.
Se requiere entonces de otra ecuación para que queden bien definidos sus valores. En el caso anterior, si a la ecuación 3x + 11y - 1 = 0 se le agrega la ecuación 2x - 5y - 13 = 0 , en las que debe entenderse que la incógnita x es la misma para ambas ecuaciones (tiene el mismovalor), lo mismo que la
incógnita y . Para este caso, ya solamente la x puede valer x = 4 y la y nada más puede valer y = - 1,
ya que al haber dos ecuaciones con dos incógnitas el sistema ya tiene solución.
Al hablar de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas debe entenderse entonces que se refiere
a que existen dos ecuaciones "al mismo tiempo", o sea que la x y la y son las mismas paraambas. Por
eso se llaman "simultáneas".
Para resolver sistemas así existen los siguientes métodos:
1)
2)
3)
4)
5)

método gráfico;
método de suma y resta;
método de igualación;
método de sustitución, y
método de determinantes.

De todos ellos, el método gráfico no se estudiará en este curso por tratarse de un método bastante
impreciso.
SUMA Y RESTA
Este método está basado en lapropiedad de las igualdades: "lo que se haga de un lado debe hacerse al otro lado para que la igualdad se conserve". En primer lugar se multiplica una o las dos ecuaciones por aquella (s) cantidad(es) que al sumarse con la otra eliminen una de las dos incógnitas, no
importa cuál.
Una vez obtenido el valor de la primera incógnita, se sustituye ésta en cualquiera de las dos originales y se despeja lasegunda incógnita.

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Ejemplo 1: 3x + 4y = - 2
x - 2y = - 4
Solución:

(1)
(2)

Si se multiplica toda la ecuación (2) por 2 (aplicando la propiedad de las igualdades), se obtiene
2x - 4y = - 8 ; es decir, el sistema se transforma en
3x + 4y = - 2
2x - 4y = - 8

(1)
(2a)

si se suman ambas se elimina la incógnita y, obteniéndose unasola ecuación con una sola incógnita, la cual ya se puede resolver de acuerdo con la primera ley de las ecuaciones (ver página 79):
3x + 4y = - 2
2x - 4y = - 8
5x

= - 10

x=

− 10
5

x=−2
Tómese en cuenta que al haber sumado ambas ecuaciones de esta manera, en realidad lo que se
hizo fue, aplicando nuevamente la propiedad de las igualdades, sumar en ambos lados de la
ecuación (1) lamisma cantidad, ya que 2x - 4y es igual que - 8 , según la ecuación (2a).
Una vez obtenido el valor de la primera incógnita, se sustituye ésta en cualquiera de las dos originales y se despeja la segunda incógnita. Haciéndolo en la primera ecuación:
3(- 2) + 4y
- 6 + 4y
4y
4y

y=

=-2
=-2
=-2+6
=4

4
4

y =1
COMPROBACIÓN: Cuando se desea comprobar un sistema de ecuacionessimultáneas, debe
hacerse sustituyendo los valores obtenidos para las incógnitas en las dos ecuaciones originales.
Haciéndolo:
ecuación 1:

3x + 4y = - 2
3(- 2) + 4(1) = - 2
- 6 + 4 = - 2 cierto.

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ECUACIONES SIMULTÁNEAS CON DOS INCÓGNITAS

ecuación 2:

x - 2y = - 4
- 2 - 2(1) = - 4
- 2 - 2 = - 4 cierto.

Un error muy frecuente en el estudiante es que "comprueba"...