Ecuaciones Trigonometricas

Ecuaciones trigonométricas resueltas
2
2
1. Resuelve: sen x−cos x=

1
2

Despejando el coseno de x de la primera relación fundamental, se tiene: cos2 x=1−sen 2 x
1
2
2
Sustituyendo en la ecuación original: sen x−1sen x= ; operando:
2
2sen 2 x−1=

1
1
3
± 3
2
2
; 2sen x= 1 ; sen x= ; sen x =
2
2
4
2

 3 = 60º360º⋅k

{120º360º⋅k
− 3 240º360º⋅k
x=arc sen
={
2
300º360º⋅k
x=arc sen

2

esdecir,

{

x= 60º180º⋅k ∀ k ∈ℤ
120º180º⋅k

Otra manera de hacerlo más corta:
La ecuación original es el desarrollo del coseno del ángulo doble salvo un signo, por lo que
multiplicamos por (-1) en ambos lados de la ecuación:
sen 2 x−cos 2 x=
2x=arc cos

1
−1
−1
cos2 x−sen 2 x=
cos 2x=
2 ;
2 ;
2

{

−1 120º360º⋅k
=
; por tanto
2
240º360º⋅k

{

x= 60º180º⋅k ∀ k ∈ℤ
120º180º⋅k

2. Calcular sen 3xen función de sen x
Utilizamos la fórmula de la suma de dos ángulos:
sen  2x=sen  xx = sen x⋅cos xcos x⋅sen x=2sen x⋅cos x y
sen 3x =sen 2x x=sen 2x⋅cos xcos2x ⋅sen x por lo que también necesitaremos la
fórmula del coseno del ángulo doble:
cos 2x=cos x⋅cos x− sen x⋅sen x=cos 2 x−sen 2 x=1−sen 2 x−sen 2 x=1−2sen 2 x
Sustituyendo estas igualdades:
2
sen 3x =sen 2x x=sen2x⋅cos xcos2x ⋅sen x =2sen
x⋅cos x⋅cos x1−2sen
x⋅sen x=


sen  2x

2sen x⋅cos2 xsen x−2sen 3 x=2sen x⋅1−sen 2 xsen x−2sen 3 x=
=2sen x −2sen 3 xsen x −2sen 3 x=3 sen x −4 sen3 x

cos 2x

3. Resuelve: cos 8xcos 6x=2 cos 210 ˚⋅cos x
Ya que en el primer miembro hay una suma de dos cosenos, utilizaremos su fórmula para
AB
A− B
⋅cos
convertirla en productos: cos Acos B=2cos
. Sea A=8x yB=6x:
2
2
2 cos 7x⋅cos x=2cos 210 ˚⋅cos x ; simplificando: cos 7x⋅cos x=cos 210 ˚⋅cos x
Nota: Sólo simplificamos el 2 y no el cos x para no perder una posible solución, en lugar de eso,
llevamos todo a un miembro y factorizamos:
cos x cos 7x−cos 210 ˚=0 ;
Primera solución: cos x=0 ;

{

x=arc cos 0= 90º360º⋅k , es decir x=90º180º⋅k , ∀ k ∈ℤ
270º360º⋅k

Segunda solución: cos 7x−cos 210º=0 ;7x=210º ;

4. Simplifica:

x=30º

sen 2x
1cos 2x

Sustituimos las fórmulas de sen y del coseno del ángulo doble en la ecuación:
sen 2x
2sen x⋅cos x
2sen x⋅cos x
2sen x⋅cos x 2sen x⋅cos x sen x
=
=
= 2
=
=
=tg x
2
2
2
2
1cos 2x 1cos 2 x− sen2 x 
cos x
1−sen x cos x cos xcos x
2cos x
cos2 x

5. Resuelve: sen 2x=cos 3x
Escribimos cos 3x de forma que aparezcan únicamente senos y cosenos de x:
cos3x=cos 2x x= ;
=cos2x ⋅cos x−sen 2x ⋅sen x=
=cos2 x−sen 2 xcos x− 2sen x⋅cos x sen x=
=1− sen2 x−sen 2 xcos x−2sen 2 x⋅cos x=
=1−2sen 2 xcos x−2sen 2 x⋅cos x=
=cos x−2sen 2 x⋅cos x−2sen 2 x⋅cos x=

=cos x−4sen 2 x⋅cos x

1

En la primera parte de la ecuación tenemos que
Igualando las expresiones (1) y (2):

sen  2x=2sen x⋅cos x

2

2sen x⋅cos x=cos x−4sen 2 x⋅cos x De estaexpresión se puede sacar factor común cos x y
simplificar:
2sen x=1−4sen 2 x ; ecuación ya sencilla de resolver ya que es de orden 2:
4sen 2 x2sen x−1=0 ; hacemos un cambio de variable sen x=t :
4t 22t−1=0 ; Soluciones:

t =sen x=

x =arc sen

−1  5 18º360º⋅k
=
4
162º360º⋅k

x=arc sen

−1− 5 306º360º⋅k
=
4
234º360º⋅k

−1±  5
4

{

{

Pero, a la hora de comprobar las soluciones, y mirandola ecuación original, ambas razones deben
tener el mismo signo, cosa que ocurre únicamente en los cuadrantes I y III, por tanto, las soluciones
de la ecuación son:

{

x= 18º360º⋅k
234º360º⋅k
6. Resuelve: 2sen 3x−1=0
Sólo hay un ángulo y sólo una razón trigonométrica, por lo que, en lugar de sustituir, despejamos:
sen 3x =

{

1 3x =30º  x=10º360º⋅k
1
; por tanto, 3x=arc sen =
2 3x =150º x=50º360º⋅k
2

7. Resuelve:

sen 3x  cos3x 
−
=2
sen x
cos x

Expresamos sen 3x  como sen  2xx y cos3x  como cos 2xx y utilizamos las
fórmulas del seno y coseno de la suma de dos ángulos:
sen  2x x cos 2x x
−
=2 ;
sen x
cos x
sen  2x⋅cos xcos 2x ⋅sen x cos 2x ⋅cos x−sen 2x ⋅sen x
−
=2 ;
sen x
cos x

Desarrollamos ahora el seno y el coseno del ángulo doble:...