ecuaciones vectoriales


UNIDAD III
ESPACIOS VECTORIALES


1.1. Definición
Sea V un conjunto en el cual dos operaciones, llamadas adición y multiplicación escalar, han sido definidas. Si u y v se encuentran en V, la suma de u y v, se denota como u+v, y si c es un escalar, el múltiplo escalar de u por c, se denota como cu. Si los siguientes axiomas se cumplen para u, v y w en V y para todos los escalares c y d,entonces V se denomina espacio vectorial y sus elementos son llamados vectores.

Adición
Multiplicación escalar
Cerradura:

Cerradura:

Conmutatividad:

Distributividad sobre vectores:

Asociatividad:

Distributividad sobre escalares:

Existe un elemento 0 en V, denominado vector cero o nulo, talque:
Asociatividad de escalares:

Para cada u en V, existe un elemento –u enV, talque:
Para cada u en V,

1.2. Subespacio Vectorial
Sea V un espacio vectorial, y W un subconjunto no vació de V. Entonces W es un subespacio de V si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:
Si u y v se encuentran en W, entonces u+v se encuentra en W.
Si u se encuentra en V y c es un escalar, entonces cu se encuentra en W.



Tipos de Espacios Vectoriales1.3. Combinación Lineal y Generación de un Espacio
Sea vectores que pertenecen al espacio vectorial V. Entonces la expresión de la forma:

se llama combinación lineal de con escalares.

Si es un conjunto de vectores en un espacio vectorial V, entonces el conjunto de todas las combinaciones lineales de se conoce como espacio generado por y se denota mediante la expresiónespacio o espacio (S) o , entonces S se denomina conjunto generador para V y se dice que V es generado por S.




1.4. Dependencia e Independencia Lineal
Un conjunto de vectores de un espacio vectorial V es:
linealmente dependiente si existen escalares al menos uno de los cuales diferente de cero, tales que:

linealmente independiente si existen escalares todos iguales a cero , tales que:1.5. Bases y Dimensiones
Base: Un subconjunto B de un espacio vectorial V es una base para V si:
B genera a V.
B es linealmente independiente.

Base Estándar
Base Estándar para donde es la i-ésima columna de la matriz identidad de nxn.
Base Estándar para
Base Estándar para donde es la matriz con 1 en el ij-ésimo elemento y ceros en los demás elementos de la matriz.Dimensión: Un espacio vectorial V se denomina de dimensión finita si tiene una base determinada por un número finito de vectores.
La dimensión de V, se denota mediante la expresión , es el número de vectores en una base para V. La dimensión del espacio vectorial es cero.
Un espacio vectorial que no tiene base finita se conoce como de dimensión infinita.

La base estándar para contiene nvectores, por lo tanto .
La base estándar para contiene n+1 vectores, por lo tanto .
La base estándar para contiene mn vectores, por lo tanto .

Teorema
Sea W un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita V. Entonces:
W es de dimensión finita y .
si y sólo si W=V.

1.6. Espacio de renglones, Espacio de Columnas, Rango y Nulidad de una matriz
Sea A una matriz nxn.
Espacio NuloSea A una matriz mxn, entonces el espacio nulo de la matriz A se expresa como:

Nulidad
La nulidad de la matriz A se expresa como:

Imagen de una matriz
Sea A una matriz mxn, entonces la imagen de la matriz A se expresa como:

Rango de una matriz
El rango de la matriz A se expresa como:
El rango de una matriz es igual al número de pivotes en su forma escalonada por renglones.Espacio Renglón de A es el subespacio de generado por los renglones de A.


Espacio Columna de A es el subespacio de generado por las columnas de A.

Teorema
Sea A una matriz de mxn. Entonces


1.7. mbio de Base
Vector Coordenado de una base
Sea V un espacio vectorial con base para , existen tales que:
El vector cuyos componentes son los coeficientes de , expresado como se llama...