Ecuaciones vectoriales

ECUACION VECTORIAL
Para determinar la ecuación vectorial de una recta es necesario que conozcamos un punto de la recta y un vector de posición o dos puntos de recta. Vamos a hallar la ecuación a partir de un punto y un vector de posición, si tuviésemos dos puntos A, B entonces el vector AB es un vector de posición. La ecuación de una recta es una expresión analítica que permite identificartodos los puntos de la recta.
Dado un punto P de la recta y un vector dirección , un punto genérico de la recta X tendrá como vector de posición .
Es claro que , como el vector y están en la misma dirección existe un numero tal que , por tanto esta expresión que conoce como ecuación vectorial de la recta.
CALCULO DE ECUACIONES VECTORIALES
Cálculo de ecuaciones vectorialesEJERCICIO N°1: Calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A (-2, -1) y B(0, 1).

El vector director será: v → = A B → = ( 0 - ( - 2 ) , 1 - ( - 1 ) ) = ( 2 , 2 ) .

Como punto de la recta podemos tomar indistintamente cualquiera de los dos puntos que nos dan, por ejemplo, el punto A(-2, -1).

La ecuación vectorial de la recta será: P = A + t • (2, 2), con t cualquiernúmero real. En coordenadas es:
(x, y) = (-2, -1) + t • (2, 2)
Dando valores a t, obtenemos distintos puntos de la recta.
t = 1 → (x, y) = (-2, -1) + 1 • (2, 2) = (0, 1)
t = 2 → (x, y) = (-2, -1) + 2 • (2, 2) = (2, 3)
t = -1 → (x, y) = (-2, -1) + (-1) • (2, 2) = (-4, -3)
t = - 3 2 → ( x , y ) = ( - 2 , - 1 ) + ( - 3 2 ) • ( 2 , 2 ) = ( - 5 , - 4 )
ECUACIONES PARAMÉTRICAS
En matemáticas, unaecuación paramétrica permite representar una o varias curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamados parámetros, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprendan los de la variable dependiente. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo para determinar la posición y lavelocidad de un móvil.
Un ejemplo de una curva definida por ecuaciones paramétricas es la curva mariposa

Descripción
En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas como variables independientes, mientras que la restante es la Variable dependiente, con el valor de la misma siendoequivalente al de la imagen de la función cuando los restantes valores son sus parámetros. Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera (x,y) equivale a la expresión (x,f(x)).
Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función de X en Y, es decir que todos los valores X tengan un valor y sólo un valor correspondiente en Y. No todas las curvas cumplen con dichacondición. Para poder trabajar con la misma como si se tratara de una función, lo que se hace es elegir un dominio y una imagen diferentes, en donde la misma sí sea función. Para hacer esto, tanto X como Y son considerados variables dependientes, cuyo resultado surge de una tercera variable (sin representación gráfica) conocida como parámetro.
Ejemplo
Dada la ecuación Y = X2, una parametrización tendrála forma
Una parametrización posible sería

Se debe destacar que para cada curva existen infinitas parametrizaciones posibles. Una en donde "X" y "Y" equivaliesen a 2U y 4U2 sería igualmente válida. La diferencia sería que, para encontrar un punto determinado (a, b) de la curva, el valor del parámetro sería diferente en cada caso. Con el ejemplo dado, el punto (2, 4) de la curva apareceríaen la primera parametrización cuando t = 2, y en el segundo cuando U =
REPRESENTACIÓN ECUACION PARAMÉTRICA DE LA CURVA
La representación paramétrica de una curva en un espacio n-dimensional consiste en n funciones de una variable t que en este caso es la variable independiente o parámetro (habitualmente se considera que t es un número real y que los puntos del espacio n-dimensional están...